Encontre máximos, mínimos e/ou ponto de sela da função:
f(x, y)=2 x^3+3 x y+2 y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos, mínimos e/ou pontos de sela da função f(x, y) = 2x^3 + 3xy + 2y^3 . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente cálculo de derivadas parciais e análise de pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y , encontrar onde elas são iguais a zero e depois analisar essas condições para determinar o tipo de ponto encontrado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função f(x, y) em relação a x e y . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
A derivada parcial de f em relação a x é:
partial fpartial x = partialpartial x (2x^3 + 3xy + 2y^3) = 6x^2 + 3y
E a derivada parcial de f em relação a y é:
partial fpartial y = partialpartial y (2x^3 + 3xy + 2y^3) = 3x + 6y^2

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, vamos resolver as equações:
6x^2 + 3y = 0 (1)
3x + 6y^2 = 0 (2)
Vamos simplificar essas equações para facilitar a resolução.

Passo 4

Simplificando a equação (1) dividindo por 3:
2x^2 + y = 0 Rightarrow y = -2x^2
Agora, substituímos y = -2x^2 na equação (2):
3x + 6(-2x^2)^2 = 0
3x + 6(4x^4) = 0
3x + 24x^4 = 0

Passo 5

Fatorando a equação resultante:
3x + 24x^4 = 0 Rightarrow 3x(1 + 8x^3) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. 3x = 0 Rightarrow x = 0
  2. 1 + 8x^3 = 0 Rightarrow x^3 = -18 Rightarrow x = -12

Passo 6

Para cada valor de x , encontramos o correspondente y usando y = -2x^2 :
  1. Quando x = 0 :
y = -2(0)^2 = 0
Então, temos o ponto crítico (0, 0) .
  1. Quando x = -12 :
y = -2(-12)^2 = -2(14) = -12
Então, temos o ponto crítico (-12, -12) .

Passo 7

Agora que encontramos os pontos críticos (0, 0) e (-12, -12) , precisamos determinar a natureza de cada um deles (máximo, mínimo ou ponto de sela). Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as derivadas parciais de segunda ordem e o discriminante D .
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 12x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 12y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 3
Também calculamos o discriminante D :
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2

Passo 8

Vamos analisar cada ponto crítico separadamente.
Para o ponto (0, 0) :
fxx = 12(0) = 0
fyy = 12(0) = 0
fxy = 3
D = (0)(0) - (3)^2 = -9
Como D < 0 , esse ponto é um ponto de sela.
Para o ponto (-12, -12) :
fxx = 12(-12) = -6
fyy = 12(-12) = -6
fxy = 3
D = (-6)(-6) - (3)^2 = 36 - 9 = 27
Como D > 0 e fxx < 0 , esse ponto é um máximo local.

Resposta

A função f(x, y) = 2x^3 + 3xy + 2y^3 possui:
  • Um ponto de sela em (0, 0) .
  • Um máximo local em (-12, -12) .

Exercícios relacionados