Encontre máximos, mínimos e/ou ponto de sela da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos, mínimos e/ou pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente cálculo de derivadas parciais e análise de pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, encontrar onde elas são iguais a zero e depois analisar essas condições para determinar o tipo de ponto encontrado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, vamos resolver as equações:
Vamos simplificar essas equações para facilitar a resolução.
Passo 4
Simplificando a equação (1) dividindo por 3:
Agora, substituímos
na equação (2):
Passo 5
Fatorando a equação resultante:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 6
Para cada valor de
, encontramos o correspondente
usando
:
- Quando
:
Então, temos o ponto crítico
.
- Quando
:
Então, temos o ponto crítico
.
Passo 7
Agora que encontramos os pontos críticos
e
, precisamos determinar a natureza de cada um deles (máximo, mínimo ou ponto de sela). Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as derivadas parciais de segunda ordem e o discriminante
.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Também calculamos o discriminante
:
Passo 8
Vamos analisar cada ponto crítico separadamente.
Para o ponto
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Para o ponto
:
Como
e
, esse ponto é um máximo local.
Resposta
A função
possui:
- Um ponto de sela em
. - Um máximo local em
.