Encontre os valores extremos de
na circunferência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores extremos da função
na circunferência definida por
.
Nesse tipo de problema, a gente vai usar um método chamado Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições. Então, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como aplicar essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos montar as equações usando os Multiplicadores de Lagrange. A ideia é que o gradiente da função
seja paralelo ao gradiente da restrição
.
As equações ficam assim:
Onde
é o multiplicador de Lagrange.
Então, vamos calcular os gradientes das funções:
Passo 3
Agora, igualamos os gradientes multiplicados pelo
:
E não podemos esquecer da restrição:
Passo 4
Vamos analisar as equações obtidas:
- De
, podemos dividir por (supondo ) e obter:
- De
, se , podemos dividir por e achar que .
Mas tem casos especiais quando
ou
. Vamos explorar isso.
Passo 5
Caso 1:
e
De
e
, temos:
Agora, usando a restrição
:
Então, temos dois pontos:
Passo 6
Caso 2:
Se
, pela restrição
, temos:
Então, os pontos são:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor da função
em cada um desses pontos:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Resposta
Os valores extremos da função
na circunferência
são:
- Máximo absoluto:
- Mínimo absoluto: