Encontre os valores extremos de f(x, y)=x^3+y^2 na circunferência
x^2+y^2-1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores extremos da função f(x, y) = x^3 + y^2 na circunferência definida por x^2 + y^2 = 1 .
Nesse tipo de problema, a gente vai usar um método chamado Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições. Então, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como aplicar essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos montar as equações usando os Multiplicadores de Lagrange. A ideia é que o gradiente da função f(x, y) seja paralelo ao gradiente da restrição g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 .
As equações ficam assim:
nabla f = lambda nabla g
Onde lambda é o multiplicador de Lagrange.
Então, vamos calcular os gradientes das funções:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (3x^2, 2y)
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y ) = (2x, 2y)

Passo 3

Agora, igualamos os gradientes multiplicados pelo lambda :
3x^2 = lambda cdot 2x
2y = lambda cdot 2y
E não podemos esquecer da restrição:
x^2 + y^2 = 1

Passo 4

Vamos analisar as equações obtidas:
  1. De 3x^2 = lambda cdot 2x , podemos dividir por x (supondo x neq 0 ) e obter:
3x = 2lambda
  1. De 2y = lambda cdot 2y , se y neq 0 , podemos dividir por 2y e achar que lambda = 1 .
Mas tem casos especiais quando x = 0 ou y = 0 . Vamos explorar isso.

Passo 5

Caso 1: y neq 0 e x neq 0
De lambda = 1 e 3x = 2lambda , temos:
3x = 2 Rightarrow x = 23
Agora, usando a restrição x^2 + y^2 = 1 :
( 23 )^2 + y^2 = 1 Rightarrow 49 + y^2 = 1
y^2 = 1 - 49 = 59 Rightarrow y = pm raiz53
Então, temos dois pontos:
( 23, raiz53 ) e ( 23, -raiz53 )

Passo 6

Caso 2: y = 0
Se y = 0 , pela restrição x^2 = 1 , temos:
x = pm 1
Então, os pontos são:
(1, 0) e (-1, 0)

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor da função f(x, y) = x^3 + y^2 em cada um desses pontos:
  1. Em ( 23, raiz53 ) :
f( 23, raiz53 ) = ( 23 )^3 + ( raiz53 )^2 = 827 + 59 = 827 + 1527 = 2327
  1. Em ( 23, -raiz53 ) :
f( 23, -raiz53 ) = ( 23 )^3 + ( -raiz53 )^2 = 827 + 59 = 2327
  1. Em (1, 0) :
f(1, 0) = 1^3 + 0^2 = 1 + 0 = 1
  1. Em (-1, 0) :
f(-1, 0) = (-1)^3 + 0^2 = -1 + 0 = -1

Resposta

Os valores extremos da função f(x, y) = x^3 + y^2 na circunferência x^2 + y^2 = 1 são:
  • Máximo absoluto: f(1, 0) = 1
  • Mínimo absoluto: f(-1, 0) = -1

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