Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede
integral0^1integral0^raiz1-x^2integral0^raiz1-x^2-y^2raizx^2+y^2+z^2;dz,dy,dx
que é a integral de raizx^2+y^2+z^2 sobre a região em que
x>=0, y>=0, z>=0, x^2+y^2+z^2<=1
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas esféricas, onde a região é o primeiro octante da esfera unitária.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi,
com
0 <= r <= 1, 0 <= phi <= pi2, 0 <= theta <= pi2,
pois cobrimos x,y,z>=0 dentro da esfera de raio 1.

Passo 3

O integrando raizx^2+y^2+z^2 vira simplesmente r, e o elemento de volume
dz,dy,dx passa a ser
dV = r^2sinphi;dr,dphi,dtheta
Logo o integrando total fica
rcdot r^2sinphi = r^3sinphi

Passo 4

Substituindo na integral tripla, obtemos
integral0^pi/2!integral0^pi/2!integral0^1r^3sinphi;dr,dphi,dtheta

Passo 5

Integramos em r:
integral0^1r^3,dr = [r^44]0^1 = 14

Passo 6

Agora em phi:
integral0^pi/2sinphi;dphi = l[-cosphir]0^pi/2 = 1

Passo 7

Por fim em theta:
integral0^pi/2dtheta = pi2

Passo 8

Multiplicando tudo, a integral vale
14times 1timespi2 = pi8

Resposta

pi8

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