Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede
que é a integral de
sobre a região em que
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas esféricas, onde a região é o primeiro octante da esfera unitária.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com
pois cobrimos
dentro da esfera de raio
.
Passo 3
O integrando
vira simplesmente
, e o elemento de volume
passa a ser
Logo o integrando total fica
Passo 4
Substituindo na integral tripla, obtemos
Passo 5
Integramos em
:
Passo 6
Agora em
:
Passo 7
Por fim em
:
Passo 8
Multiplicando tudo, a integral vale