Encontre a média μe a variância \sigma^{2} da função de probabilidade abaixo: (PESO 2,0)
\mathrm{X}_{i} 2 3 8
\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{x}_{1}\right) 1 / 4 1 / 2 1 / 4

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados ele fornece (peguei estes números da tabela do enunciado).
  • O enunciado pede: encontrar a média \mu e a variância \sigma^{2} da variável aleatória discreta X.
  • Os valores de X e as respectivas probabilidades (da tabela) são:
    • X=2 com P(X=2)=\tfrac{1}{4}.
    • X=3 com P(X=3)=\tfrac{1}{2}.
    • X=8 com P(X=8)=\tfrac{1}{4}.
  • Conferência rápida: \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=1, logo é uma distribuição válida.

Passo 2

Fórmula da média (valor esperado) e interpretação:
\mu = \mathbb{E}[X]=\sum_{i} x_i\,p_i.
Explicação: cada x_i é um valor possível da variável e p_i é a probabilidade associada; a média é uma “média ponderada” dos x_i usando as probabilidades como pesos.

Passo 3

Calcular a média usando a fórmula, fazendo as contas passo a passo:
\mu = 2\cdot\tfrac{1}{4} + 3\cdot\tfrac{1}{2} + 8\cdot\tfrac{1}{4}.
Calcule cada termo:
2\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}=0,5, \qquad 3\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}=1,5, \qquad 8\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{8}{4}=2.
Somando:
\mu = 0,5 + 1,5 + 2 = 4.

Passo 4

Fórmulas da variância e interpretação:
Duas formas equivalentes que usaremos:
\sigma^{2}=\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}\big[(X-\mu)^{2}\big]
ou
\sigma^{2}=\mathbb{E}[X^{2}]-\mu^{2}.
Explicação: a variância mede a média dos quadrados das distâncias entre os valores X e a média \mu. A segunda fórmula costuma ser mais prática em cálculos.

Passo 5

Calcular \mathbb{E}[X^{2}] passo a passo:
\mathbb{E}[X^{2}] = 2^{2}\cdot\tfrac{1}{4} + 3^{2}\cdot\tfrac{1}{2} + 8^{2}\cdot\tfrac{1}{4}.
Calcule cada termo:
2^{2}\cdot\tfrac{1}{4}=4\cdot\tfrac{1}{4}=1, \qquad 3^{2}\cdot\tfrac{1}{2}=9\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{9}{2}=4,5, \qquad 8^{2}\cdot\tfrac{1}{4}=64\cdot\tfrac{1}{4}=16.
Somando:
\mathbb{E}[X^{2}] = 1 + 4,5 + 16 = 21,5 = \tfrac{43}{2}.

Passo 6

Aplicar \sigma^{2}=\mathbb{E}[X^{2}]-\mu^{2}:
\sigma^{2} = 21,5 - 4^{2} = 21,5 - 16 = 5,5 = \tfrac{11}{2}.

Passo 7

Verificação usando a definição direta \mathbb{E}[(X-\mu)^{2}] (mostra que as duas formas são equivalentes):
(2-4)^{2}\cdot\tfrac{1}{4} = 4\cdot\tfrac{1}{4}=1,
(3-4)^{2}\cdot\tfrac{1}{2} = 1\cdot\tfrac{1}{2}=0,5,
(8-4)^{2}\cdot\tfrac{1}{4} = 16\cdot\tfrac{1}{4}=4.
Somando:
\sigma^{2} = 1 + 0,5 + 4 = 5,5,
confirma o resultado anterior.

Resposta

\mu = 4
\sigma^{2} = \tfrac{11}{2} = 5,5

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