Considere uma V.A. contínua com a seguinte função acumulada de probabilidade:
\begin{aligned} & F(x)=0, x<0 \\\ & F(x)=x^{2} / 2,0 \leq x<1 \\\ & F(x)=-1 / 8+3 x / 4 \cdot x^{2} / 8,1 \leq x<3 \\\ & F(x)=1, x \geq 3 \end{aligned}
(a) determine a função densidade de probabilidade; (PESO 1,0)
(b) calcule a \mathrm{P}(1 / 2<\mathrm{X}<2). (PESO 1,0)

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada F(x) por partes. Vou listar exatamente o que foi informado e uma observação sobre uma notação ambígua que apareceu na terceira parte (já resolvida por continuidade, explico abaixo):
  • Para x<0: F(x)=0.
  • Para 0 \le x<1: F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}.
  • Para 1 \le x<3: o enunciado trouxe a expressão escrita de forma ambígua como "-1/8+3 x/4 \cdot x^{2}/8". Para que F seja uma função de distribuição contínua e compatível com os valores nas fronteiras, a forma correta e consistente é F(x)=-\dfrac{1}{8}+\dfrac{3x}{4}-\dfrac{x^{2}}{8},\qquad 1\le x<3.(Essa expressão dá F(1)=1/2 e F(3^-)=1, garantindo continuidade.)
  • Para x\ge 3: F(x)=1.
O que o problema pede:
(a) Determinar a função densidade de probabilidade f(x).
(b) Calcular \mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{2}<X<2\right).

Passo 2

Conceito importante: para uma variável aleatória contínua em pontos onde F\) é diferenciável vale \[f(x)=F'(x),
ou seja, a densidade é a derivada da função de distribuição. Fora do suporte (onde F é constante) a densidade é zero. Vou derivar F(x) em cada intervalo onde ela é dada por uma expressão suave.
Regras de derivação usadas (lembrando de forma prática):
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)=x.
  • \dfrac{d}{dx}\!(ax)=a para constante a.
  • \dfrac{d}{dx}\!(bx^{2})=2bx.
Agora derivamos peça a peça:
Para x<0: F(x)=0 é constante, então
f(x)=0,\qquad x<0.
Para 0\le x<1: F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}. Derivando,
f(x)=\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)=x,\qquad 0\le x<1.
Aqui explico: a derivada de x^2/2 é x porque \dfrac{d}{dx}x^2=2x e o fator 1/2 cancela com o 2.
Para 1\le x<3: F(x)=-\dfrac{1}{8}+\dfrac{3x}{4}-\dfrac{x^{2}}{8}. Derivando termo a termo,
f(x)=\dfrac{d}{dx}\!\left(-\dfrac{1}{8}\right)+\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{3x}{4}\right)-\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{2}}{8}\right) =0+\dfrac{3}{4}-\dfrac{2x}{8}.
Simplificando \dfrac{2x}{8}=\dfrac{x}{4}, obtemos
f(x)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{x}{4}=\dfrac{3-x}{4},\qquad 1\le x<3.
Para x\ge 3: F(x)=1 é constante, então
f(x)=0,\qquad x\ge 3.
Resumo (forma final da densidade): juntar as peças:
f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] x, & 0\le x<1,\\[6pt] \dfrac{3-x}{4}, & 1\le x<3,\\[6pt] 0, & x\ge 3. \end{cases}
Pequena verificação (intuitiva): f(x)\] pode ser descontínua nas fronteiras, tudo bem. A normalização está garantida porque \(F(3^-)=1 (já conferido), então \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.]

Passo 3

Agora calculamos \mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{2}<X<2\right). Dois caminhos equivalentes:
  • Usar a relação com F:
    \mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{2}<X<2\right)=F(2^-)-F\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
    Como F é contínua em 2, uso F(2). Calculo os dois valores.
    Primeiro, F\!\left(\tfrac{1}{2}\right) está na região 0\le x<1, então
    F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\dfrac{(1/2)^{2}}{2}=\dfrac{1/4}{2}=\dfrac{1}{8}.
    Segundo, F(2) está na região 1\le x<3. Uso a expressão F(x)=-\dfrac{1}{8}+\dfrac{3x}{4}-\dfrac{x^{2}}{8}:
    F(2)=-\dfrac{1}{8}+\dfrac{3\cdot 2}{4}-\dfrac{2^{2}}{8} =-\dfrac{1}{8}+\dfrac{6}{4}-\dfrac{4}{8}.
    Calculo com frações: \dfrac{6}{4}= \dfrac{12}{8}. Então
    F(2)=-\dfrac{1}{8}+\dfrac{12}{8}-\dfrac{4}{8}=\dfrac{-1+12-4}{8}=\dfrac{7}{8}.
    Portanto
    \mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{2}<X<2\right)=\dfrac{7}{8}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}.

Passo 4

Para reforçar (método por densidade, que dá o mesmo resultado): integrar f(x) em \left(\tfrac{1}{2},2\right). Esse intervalo cruza a fronteira x=1, então separo:
\mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{2}<X<2\right)=\int_{1/2}^{1} x\,dx+\int_{1}^{2} \dfrac{3-x}{4}\,dx.
Calculo a primeira integral:
\int_{1/2}^{1} x\,dx=\left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{1/2}^{1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}.
Calculo a segunda:
\int_{1}^{2}\dfrac{3-x}{4}\,dx=\dfrac{1}{4}\int_{1}^{2}(3-x)\,dx =\dfrac{1}{4}\left[\left.3x-\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{1}^{2}\right].
Avalio dentro dos colchetes:
\left(3\cdot 2-\dfrac{2^{2}}{2}\right)-\left(3\cdot 1-\dfrac{1^{2}}{2}\right)=(6-2)-(3-\tfrac{1}{2})=4-(2{,}5)=1{,}5=\dfrac{3}{2}.
Multiplicando por 1/4 \dfrac{3}{8}. Soma total \dfrac{3}{8}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}, mesmo resultado.

Resposta

(a) f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] x, & 0\le x<1,\\[6pt] \dfrac{3-x}{4}, & 1\le x<3,\\[6pt] 0, & x\ge 3. \end{cases}
(b) \mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{2}<X<2\right)=\dfrac{3}{4}]

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