(a) determine a função densidade de probabilidade; (PESO 1,0)
(b) calcule a \mathrm{P}(1 / 2<\mathrm{X}<2). (PESO 1,0)
Passo 1
O enunciado dá a função de distribuição acumulada F(x) por partes. Vou listar exatamente o que foi informado e uma observação sobre uma notação ambígua que apareceu na terceira parte (já resolvida por continuidade, explico abaixo):
Para x<0: F(x)=0.
Para 0 \le x<1: F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}.
Para 1 \le x<3: o enunciado trouxe a expressão escrita de forma ambígua como "-1/8+3 x/4 \cdot x^{2}/8". Para que F seja uma função de distribuição contínua e compatível com os valores nas fronteiras, a forma correta e consistente éF(x)=-\dfrac{1}{8}+\dfrac{3x}{4}-\dfrac{x^{2}}{8},\qquad 1\le x<3.(Essa expressão dá F(1)=1/2 e F(3^-)=1, garantindo continuidade.)
Para x\ge 3: F(x)=1.
O que o problema pede:
(a) Determinar a função densidade de probabilidade f(x).
(b) Calcular \mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{2}<X<2\right).
Passo 2
Conceito importante: para uma variável aleatória contínua em pontos onde F\) é diferenciável vale
\[f(x)=F'(x),
ou seja, a densidade é a derivada da função de distribuição. Fora do suporte (onde F é constante) a densidade é zero. Vou derivar F(x) em cada intervalo onde ela é dada por uma expressão suave.
Regras de derivação usadas (lembrando de forma prática):
Pequena verificação (intuitiva): f(x)\] pode ser descontínua nas fronteiras, tudo bem. A normalização está garantida porque \(F(3^-)=1 (já conferido), então \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.]
Passo 3
Agora calculamos \mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{2}<X<2\right). Dois caminhos equivalentes:
Para reforçar (método por densidade, que dá o mesmo resultado): integrar f(x) em \left(\tfrac{1}{2},2\right). Esse intervalo cruza a fronteira x=1, então separo: