No lançamento de 4 moedas honestas, consideram os eventos
A= sair número par de caras,
B = sairem duas ou mais caras.
Calcular \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}). (PESO 1,0)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Lançam-se quatro moedas honestas (cada face cara ou coroa tem mesma chance).
  • Define-se o evento A: sair número par de caras.
  • Define-se o evento B: saírem duas ou mais caras.
  • A pergunta: calcular \mathrm{P}(A\cup B), ou seja, a probabilidade de ocorrer A ou B (ou ambos).

Passo 2

Tamanho do espaço amostral e hipótese de equiprobabilidade:
  • Cada moeda tem 2 resultados possíveis, logo para 4 moedas há 2^4 resultados possíveis.
2^4=16.
  • Como as moedas são honestas e independentes, assumimos que esses 16 resultados são igualmente prováveis. Assim, a probabilidade de um evento é simplesmente \dfrac{\text{nº de resultados favoráveis}}{16}ºá.

Passo 3

Contagem de resultados por número de caras (ideia e fórmula):
  • É útil contar quantos resultados têm exatamente k caras. Para escolher quais k das 4 moedas dão cara usamos combinações:
\binom{4}{k}=\frac{4!}{k!(4-k)!},
onde \binom{4}{k} é o número de subconjuntos de k moedas dentre 4.
  • Calculando para k=0,1,2,3,4:
\binom{4}{0}=1,\quad \binom{4}{1}=4,\quad \binom{4}{2}=6,\quad \binom{4}{3}=4,\quad \binom{4}{4}=1.
Isto significa, por exemplo, que há 6 resultados com exatamente 2 caras.

Passo 4

Descrever os eventos A e B em termos de k (nº de caras) e contar resultados:
  • A = número par de caras =\{0,2,4\}. Número de resultados favoráveis a A:
N(A)=\binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=1+6+1=8.
  • B = duas ou mais caras =\{2,3,4\}. Número de resultados favoráveis a B:
N(B)=\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=6+4+1=11.
  • Interseção A\cap B = eventos que estão em ambos =\{2,4\}. Número de resultados:
N(A\cap B)=\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=6+1=7.

Passo 5

Calcular as probabilidades individuais usando contagem:
  • \mathrm{P}(A)=\dfrac{N(A)}{16}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}.
  • \mathrm{P}(B)=\dfrac{N(B)}{16}=\dfrac{11}{16}.
  • \mathrm{P}(A\cap B)=\dfrac{N(A\cap B)}{16}=\dfrac{7}{16}.

Passo 6

Usar a fórmula da união e concluir:
  • Fórmula geral:
\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B).
  • Substituindo:
\mathrm{P}(A\cup B)=\dfrac{8}{16}+\dfrac{11}{16}-\dfrac{7}{16}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}.
  • Observação alternativa (mais curta): A\cup B contém todos os casos exceto exatamente 1 cara. Como há \binom{4}{1}=4 resultados com exatamente 1 cara, \mathrm{P}(A\cup B)=1-\dfrac{4}{16}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}, que coincide com o resultado acima.

Resposta

\dfrac{3}{4}

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