Exercício 49. Sejam x=x(u, v) e y=y(u, v) definidas implicitamente pelas equações x^2+u y^2=v e x+y^2=u.
(a) Expresse partial xpartial u em termos de x, y e u.
(b) Determine um par de funções x=x(u, v) e y=y(u, v) definidas implicitamente pelo sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções implícitas
x^2 + u,y^2 = v
x + y^2 = u
que definem x=x(u,v) e y=y(u,v). No item (a) vamos usar derivação implícita para achar partial x/partial u (mantendo v constante). No item (b) vamos eliminar uma variável para obter soluções explícitas de x e y em função de u e v.

Passo 2

Derivando a primeira equação em relação a u (com v constante) e usando notação xu=partial x/partial u, yu=partial y/partial u, obtemos
2x,xu + y^2 + 2u,y,yu = 0
Derivando a segunda equação em relação a u:
xu + 2y,yu - 1 = 0

Passo 3

Temos o sistema linear em
Da segunda equação (x_u = 1 - 2y,y_u]. Substituindo na primeira:

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Passo 4

Concluímos que
partial xpartial u = u + y^2u - 2x

Passo 5

Para o item (b), da segunda equação isolamos x = u - y^2 e substituímos na primeira:
(u - y^2)^2 + u,y^2 = v ;Longrightarrow; y^4 - u,y^2 + (u^2 - v) = 0
Definindo t = y^2, isso vira a quadrática
t^2 - u,t + (u^2 - v) = 0

Passo 6

As raízes são
t = u pm raiz4v - 3u^22,
isto é
y^2 = u pm raiz4v - 3u^22, x = u - y^2 = u mp raiz4v - 3u^22
Cada escolha do sinal “ pm” dá uma das duas soluções locais de x(u,v) e y(u,v).

Resposta

(a) partial xpartial u = u + y^2u - 2x
(b)
y^2 = u pm raiz4v - 3u^22, x = u mp raiz4v - 3u^22

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