Exercício 49. Sejam
e
definidas implicitamente pelas equações
e
.
(a) Expresse
em termos de
e
.
(b) Determine um par de funções
e
definidas implicitamente pelo sistema.
(a) Expresse
(b) Determine um par de funções
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções implícitas
que definem
e
. No item (a) vamos usar derivação implícita para achar
(mantendo
constante). No item (b) vamos eliminar uma variável para obter soluções explícitas de
e
em função de
e
.
Passo 2
Derivando a primeira equação em relação a
(com
constante) e usando notação
,
, obtemos
Derivando a segunda equação em relação a
:
Passo 3
Temos o sistema linear em
Da segunda equação (x_u = 1 - 2y,y_u]. Substituindo na primeira:
Logo
Logo
Passo 4
Concluímos que
Passo 5
Para o item (b), da segunda equação isolamos
e substituímos na primeira:
Definindo
, isso vira a quadrática
Passo 6
As raízes são
isto é
Cada escolha do sinal “
” dá uma das duas soluções locais de
e
.
Resposta
(a)
(b)