Se os três lados de um triângulo são representados pelos vetores
, no sentido antihorário, mostre que
e desenvolva o produto para obter a lei dos cossenos.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Num triângulo cujos lados são os vetores
(no sentido anti-horário), mostre que
e daí desenvolva esse produto para chegar na lei dos cossenos.”
Isso é conteúdo de produto escalar de vetores + lei dos cossenos. Vamos precisar saber que em qualquer triângulo fechado a soma dos vetores que formam os lados é zero, e entender as propriedades do produto escalar (distributividade, comutatividade, relação com cosseno).
Isso é conteúdo de produto escalar de vetores + lei dos cossenos. Vamos precisar saber que em qualquer triângulo fechado a soma dos vetores que formam os lados é zero, e entender as propriedades do produto escalar (distributividade, comutatividade, relação com cosseno).
Passo 2
Como “fecha” um triângulo, temos
Logo
Isso já indica que
Pronto, mostramos a primeira parte.
Passo 3
Agora vamos expandir usando as propriedades do produto escalar. Lembrando que
-
-
Temos
Como
, isso vira
Portanto
Passo 4
Falta ligar esse resultado à lei dos cossenos. Pelo produto escalar, se o ângulo entre
e
(colocados com mesma origem) for
, vale
Substituindo, dá
Essa é justamente a forma vetorial da lei dos cossenos (às vezes escrita como
, dependendo de como você define o ângulo interior).