Se os três lados de um triângulo são representados pelos vetores A, B, e C, no sentido antihorário, mostre que |C|^2=(A+B) bul<=t(A+B) e desenvolva o produto para obter a lei dos cossenos.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Num triângulo cujos lados são os vetores |vec C|^2=(vec A+vec B)!cdot!(vec A+vec B) (no sentido anti-horário), mostre que
e daí desenvolva esse produto para chegar na lei dos cossenos.”
Isso é conteúdo de produto escalar de vetores + lei dos cossenos. Vamos precisar saber que em qualquer triângulo fechado a soma dos vetores que formam os lados é zero, e entender as propriedades do produto escalar (distributividade, comutatividade, relação com cosseno).

Passo 2

Como “fecha” um triângulo, temos
vec A+vec B+vec C=vec 0
Logo
vec C= -(vec A+vec B)
Isso já indica que
|vec C|^2=vec Ccdotvec C = [-(vec A+vec B)]cdot [-(vec A+vec B)] =(vec A+vec B)cdot(vec A+vec B)
Pronto, mostramos a primeira parte.

Passo 3

Agora vamos expandir usando as propriedades do produto escalar. Lembrando que
  1. (vec A+vec B)cdot(vec A+vec B) =vec Acdotvec A+vec Acdotvec B +vec Bcdotvec A+vec Bcdotvec B
  2. |vec A|^2+2,vec Acdotvec B+|vec B|^2
    Temos
|vec C|^2=|vec A|^2+|vec B|^2+2,vec Acdotvec B
Como , isso vira
Portanto

Passo 4

Falta ligar esse resultado à lei dos cossenos. Pelo produto escalar, se o ângulo entre vec Acdotvec B = |vec A|;|vec B|costheta e |vec C|^2 = |vec A|^2 + |vec B|^2 + 2,|vec A|,|vec B|costheta (colocados com mesma origem) for , vale
Substituindo, dá
Essa é justamente a forma vetorial da lei dos cossenos (às vezes escrita como , dependendo de como você define o ângulo interior).

Resposta

|vec C|^2 = (vec A+vec B)cdot(vec A+vec B) = |vec A|^2 + |vec B|^2 + 2,vec Acdotvec B = |vec A|^2 + |vec B|^2 + 2,|vec A|,|vec B|costheta

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