Encontre o menor limite superior e o maior limite inferior (se existirem) dos seguintes conjuntos. Também decida quais conjuntos têm maiores e menores elementos (isto é, decida quando o menor limite superior e o maior limite inferior pertencem ao conjunto).
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Passo 1

O enunciado pede para o conjunto A=tfrac1n: ninN que a gente encontre o supremo (menor limite superior) e o ínfimo (maior limite inferior) e verifique se eles pertencem a A. Vamos usar as definições de supremo e ínfimo para funções de conjuntos numéricos.

Passo 2

Para achar o supremo, note que para todo ninN vale tfrac1n<=1, pois tfrac11=1 é o maior elemento da sequência. Portanto, 1 é um limite superior de A. Se existisse um limite superior u<1, como 1in A, teríamos 1>u, o que contraria a ideia de u ser superior a todos. Logo, o menor limite superior (supremo) é
sup A=1
Como 1=tfrac11 pertence a A, esse supremo é também o maior elemento (máximo) de A.

Passo 3

Para achar o ínfimo, percebemos que os termos tfrac1n podem ficar arbitrariamente próximos de zero quando ntoinfty. Logo, 0 é um limite inferior de A, pois para todo n temos tfrac1n>0. Se existisse um limite inferior l>0, poderíamos escolher N>1/l e então tfrac1N, o que impediria l de ser inferior a todos. Assim, o maior limite inferior (ínfimo) é
inf A=0

Passo 4

Como nenhum tfrac1n é igual a zero, o ínfimo não pertence a A, ou seja, não há mínimo.

Resposta

Supremo = 1 (pertence a A, é máximo); Ínfimo = 0 (não pertence a A, não há mínimo).

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