Encontre o menor limite superior e o maior limite inferior (se existirem) dos seguintes conjuntos. Também decida quais conjuntos têm maiores e menores elementos (isto é, decida quando o menor limite superior e o maior limite inferior pertencem ao conjunto).
.
Passo 1
O enunciado pede para o conjunto
que a gente encontre o supremo (menor limite superior) e o ínfimo (maior limite inferior) e verifique se eles pertencem a
. Vamos usar as definições de supremo e ínfimo para funções de conjuntos numéricos.
Passo 2
Para achar o supremo, note que para todo
vale
, pois
é o maior elemento da sequência. Portanto, 1 é um limite superior de
. Se existisse um limite superior
, como
, teríamos
, o que contraria a ideia de
ser superior a todos. Logo, o menor limite superior (supremo) é
Como
Passo 3
Para achar o ínfimo, percebemos que os termos
podem ficar arbitrariamente próximos de zero quando
. Logo, 0 é um limite inferior de
, pois para todo
temos
. Se existisse um limite inferior
, poderíamos escolher
e então
, o que impediria
de ser inferior a todos. Assim, o maior limite inferior (ínfimo) é
Passo 4
Como nenhum
é igual a zero, o ínfimo não pertence a
, ou seja, não há mínimo.
Resposta
Supremo = 1 (pertence a A, é máximo); Ínfimo = 0 (não pertence a A, não há mínimo).