Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime+2 y=t e^-2 t, com y(0)=1

Passo 1

O problema é um EDO linear de primeira ordem com condição inicial y(0)=1. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante μ(t) a partir de μ(t)=e^{∫2dt}.
[\mu(t)=e^{2t}]

Passo 3

Multiplicamos a equação original por μ(t) para tornar o lado esquerdo uma derivada exata:
Original: y’+2y=te^{-2t}
Multiplicando: e{2t}y’+2e{2t}y = te{-2t}e{2t}
Isto é
[\frac{d}{dt}(y,e^{2t}) = t]

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
[\int \frac{d}{dt}(y,e^{2t}),dt = \int t,dt]
Resulta em
[y,e^{2t} = \tfrac{t^2}{2} + C]

Passo 5

Isolamos y e aplicamos a condição y(0)=1 para determinar C. Em t=0 temos: y(0)e^{0}=1=0+ C, logo C=1. Assim
[y=(\tfrac{t2}{2}+1)e{-2t}]

Resposta

y(t)=\bigl(\tfrac{t2}{2}+1\bigr)e{-2t}

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