Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O problema é um EDO linear de primeira ordem com condição inicial y(0)=1. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.
Passo 2
Calculamos o fator integrante μ(t) a partir de μ(t)=e^{∫2dt}.
[\mu(t)=e^{2t}]
Passo 3
Multiplicamos a equação original por μ(t) para tornar o lado esquerdo uma derivada exata:
Original: y’+2y=te^{-2t}
Multiplicando: e{2t}y’+2e{2t}y = te{-2t}e{2t}
Isto é
Multiplicando: e{2t}y’+2e{2t}y = te{-2t}e{2t}
Isto é
[\frac{d}{dt}(y,e^{2t}) = t]
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
[\int \frac{d}{dt}(y,e^{2t}),dt = \int t,dt]
Resulta em
[y,e^{2t} = \tfrac{t^2}{2} + C]
Passo 5
Isolamos y e aplicamos a condição y(0)=1 para determinar C. Em t=0 temos: y(0)e^{0}=1=0+ C, logo C=1. Assim
[y=(\tfrac{t2}{2}+1)e{-2t}]
Resposta
y(t)=\bigl(\tfrac{t2}{2}+1\bigr)e{-2t}