Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime=(3 y^2-x^2) / 2 x y

Passo 1

O enunciado dá a EDO y'=3y^2-x^22xy. Esse é um caso de equação diferencial de primeira ordem homogênea, pois o numerador e o denominador são funções homogêneas de mesmo grau (grau 2). Vamos usar a substituição y= vx para transformar em variáveis separáveis.

Passo 2

Substituindo y=v x temos
y'=v+xdvdx
Então a EDO vira
v+xdvdx=3(vx)^2-x^22x(vx)=3v^2-12v

Passo 3

Isolando xdvdx obtemos
xdvdx=3v^2-12v-v=v^2-12v
Reescrevendo para separar variáveis:
2vv^2-1,dv=dxx

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo fazemos frações parciais:
integral2vv^2-1,dv=integrall(1v-1+1v+1r)dv=ln|v-1|+ln|v+1|+C=ln|v^2-1|+C
Do lado direito temos integral dx/x=ln|x|+C'

Passo 5

Igualando as integrais:
ln|v^2-1|=ln|x|+C1
que leva a
v^2-1=Cx
onde C é constante genérica. Voltando a y= vx:
l(yxr)^2-1=Cx
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y temos a solução implícita
y^2-x^2=Cx^3

Resposta

y^2-x^2=Cx^3

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