Questão 2-Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais abaixo:
d yd t=sen(5 t)

Passo 1

Resumimos o enunciado: precisamos resolver a EDO dydt=sin(5t) usando separação de variáveis. O conteúdo envolve entender que podemos isolar dy e dt para integrar ambos os lados e encontrar y(t).

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por dt e obtendo dy=sin(5t),dt. A partir daí, sabemos que integral dy fornece y e integralsin(5t),dt será calculada por substituição.

Passo 3

Resolvemos as integrais: do lado esquerdo,
integral dy = y + K1,
e do lado direito usamos a substituição u=5t, du=5,dt, isto é, dt=du/5. Assim,
integral sin(5t),dt = integral sin(u),du5 = -15cos(u) + K2 = -15cos(5t) + K2
Como surgiram duas constantes de integração ( K1 e K2), reunimos tudo numa única constante arbitrária C. Isolando y, chegamos à solução geral.

Resposta

y(t) = -15cos(5t) + C

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