Faça o que se pede:
Resolva a inequação |2 x-1| >= 4-x, expressando a solução na forma de intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma inequação com valor absoluto: $ |2x - 1| \geq 4 - x $. O conteúdo que vamos usar envolve entender como resolver desigualdades que têm valor absoluto. Pra resolver isso, vamos precisar dividir a inequação em casos, dependendo do sinal da expressão dentro do valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que o valor absoluto está nos dizendo. O $ |2x - 1| $ significa que estamos considerando tanto o valor positivo quanto o negativo de $ 2x - 1 $. Então, pra resolver $ |2x - 1| \geq 4 - x $, vamos pensar em duas situações:
  1. Quando $ 2x - 1 $ é positivo ou zero.
  2. Quando $ 2x - 1 $ é negativo.

Passo 3

Caso 1: $ 2x - 1 \geq 0 $
Esse caso acontece quando $ x \geq \frac{1}{2} $. Nessa situação, o valor absoluto não altera o sinal, então a inequação fica:
2x - 1 >= 0
Agora, vamos resolver essa inequação:
  1. Somar $ x $ nos dois lados:
x >= 12
2x - 1 >= 4 - x
  1. Adicionar 1 nos dois lados:
x
  1. Dividir por 3:
2x - 1 + x >= 4
Então, nesse caso, $ x \geq \frac{5}{3} $.

Passo 4

Caso 2: $ 2x - 1 < 0 $
Esse caso ocorre quando $ x < \frac{1}{2} $. Aqui, o valor absoluto inverte o sinal da expressão, então a inequação fica:
2x - 1 < 0
x < 12
Vamos resolver:
  1. Adicionar $ 2x $ nos dois lados:
-(2x - 1) >= 4 - x
  1. Subtrair 4 dos dois lados:
-2x + 1 >= 4 - x
2x
Portanto, nesse caso, $ x \leq -3 $.

Resposta

Juntando os dois casos, a solução da inequação $ |2x - 1| \geq 4 - x $ é:
|2x - 1| >= 4 - x
Expressando na forma de intervalo:
x <= -3 ou x >= 53

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