Prove que todas as soluções da edo 3 y^prime+t y=5 tendem a zero quando t tendem ao infinito.

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear de primeira ordem: 3y'+ty=5. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante e depois analisar o comportamento da solução quando tto+infty.

Passo 2

Dividindo por 3, colocamos na forma padrão
y'+ t3,y=53
O fator integrante é
mu(t)=expl(integral t3,dtr)=e^t^2/6

Passo 3

Multiplicamos a equação por e^t^2/6 e reconhecemos uma derivada composta:
ddtl(e^t^2/6yr)=53e^t^2/6
Integrando ambos os lados, obtemos
e^t^2/6y=53integral^t e^s^2/6ds+C,
onde C é constante de integração. Assim,
y(t)=e^-t^2/6l(C+tfrac53integral^t e^s^2/6dsr)

Passo 4

Na forma geral temos dois termos: o homogêneo C,e^-t^2/6 e o particular
e^-t^2/6integral^t e^s^2/6ds. Claramente
C,e^-t^2/6to0(tto+infty)
Para o termo particular, considere
L=limtto+inftye^-t^2/6integral^t e^s^2/6ds =limtto+inftyintegral^t e^s^2/6dse^t^2/6
Aplicando l’Hôpital:
L=limtto+inftye^t^2/6(t/3)e^t^2/6=limtto+infty3t=0

Passo 5

Como ambos os termos (homogêneo e particular) tendem a zero, concluímos que toda solução y(t) satisfaz

Resposta

Todas as soluções da equação tendem a zero quando tto+infty.

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