Prove que todas as soluções da edo
tendem a zero quando
tendem ao infinito.
Passo 1
A equação dada é uma EDO linear de primeira ordem:
. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante e depois analisar o comportamento da solução quando
.
Passo 2
Dividindo por 3, colocamos na forma padrão
O fator integrante é
Passo 3
Multiplicamos a equação por
e reconhecemos uma derivada composta:
Integrando ambos os lados, obtemos
onde
é constante de integração. Assim,
Passo 4
Na forma geral temos dois termos: o homogêneo
e o particular
. Claramente
Para o termo particular, considere
Aplicando l’Hôpital:
Passo 5
Como ambos os termos (homogêneo e particular) tendem a zero, concluímos que toda solução
satisfaz
Resposta
Todas as soluções da equação tendem a zero quando
.