Encontre a menor potência de 2700 que é divisível por 30^{6}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a menor potência de 2700 que seja divisível por 30^{6}.
Informações dadas: o número base é 2700 e o número pelo qual queremos divisibilidade é 30^{6}.
O que precisamos achar é o menor inteiro positivo n tal que 2700^{n} seja divisível por 30^{6} (ou seja, 30^{6} divide 2700^{n}).

Passo 2

Primeiro vamos fatorar os números em primos — isso é a ferramenta mais direta para estudar divisibilidade por potências. Explicando rápido: um número é divisível por outro se, na fatoração prima, cada primo aparece com expoente pelo menos igual ao do divisor.
Fatorando 2700: podemos observar que 2700=27\cdot100. Então
2700 = 27\cdot100 = 3^{3}\cdot(2^{2}\cdot5^{2}).
Portanto
2700 = 2^{2}\cdot3^{3}\cdot5^{2}.
(Eu quebrei 2700 em fatores simples: 27=3^{3} e 100=2^{2}\cdot5^{2}.)

Passo 3

Agora fatoramos 30^{6}. Primeiro 30=2\cdot3\cdot5, e usando a propriedade de potências (ab)^{n}=a^{n}b^{n}, temos
30^{6}=(2\cdot3\cdot5)^{6}=2^{6}\cdot3^{6}\cdot5^{6}.

Passo 4

Para estudar 2700^{n} escrevemos sua fatoração em função de n. Usando (p^{a})^{n}=p^{an},
2700^{n}=(2^{2}\cdot3^{3}\cdot5^{2})^{n}=2^{2n}\cdot3^{3n}\cdot5^{2n}.
Para que 30^{6}=2^{6}\cdot3^{6}\cdot5^{6} divida 2700^{n}, os expoentes de cada primo em 2700^{n} precisam ser ao menos os correspondentes em 30^{6}. Assim obtemos as desigualdades:
2n \ge 6,\qquad 3n \ge 6,\qquad 2n \ge 6.

Passo 5

Resolvendo cada desigualdade:
2n \ge 6 \implies n \ge 3,
3n \ge 6 \implies n \ge 2,
2n \ge 6 \implies n \ge 3.
Como n deve satisfazer todas simultaneamente, tomamos o máximo das condições: n\ge 3. O menor inteiro n que funciona é n=3.

Passo 6

Verificação rápida: para n=3 temos
2700^{3}=2^{6}\cdot3^{9}\cdot5^{6},
e isso contém 2^{6}\cdot3^{6}\cdot5^{6} como fator (pois 3^{9} tem expoente maior que 3^{6}), logo 30^{6} divide 2700^{3}. Para n=2 teríamos 2700^{2}=2^{4}\cdot3^{6}\cdot5^{4}, e os expoentes de 2 e de 5 seriam 4<6, então 30^{6} não divide 2700^{2}. Assim n=3 é realmente mínimo.

Resposta

2700^{3}

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