Encontre a menor potência de 2700 que é divisível por
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a menor potência de
que seja divisível por
.
Informações dadas: o número base é e o número pelo qual queremos divisibilidade é
.
O que precisamos achar é o menor inteiro positivo tal que
seja divisível por
(ou seja,
divide
).
Informações dadas: o número base é
O que precisamos achar é o menor inteiro positivo
Passo 2
Primeiro vamos fatorar os números em primos — isso é a ferramenta mais direta para estudar divisibilidade por potências. Explicando rápido: um número é divisível por outro se, na fatoração prima, cada primo aparece com expoente pelo menos igual ao do divisor.
Fatorando
: podemos observar que
. Então
Portanto
(Eu quebrei
em fatores simples:
e
.)
Passo 3
Agora fatoramos
. Primeiro
, e usando a propriedade de potências
, temos
Passo 4
Para estudar
escrevemos sua fatoração em função de
. Usando
,
Para que
divida
, os expoentes de cada primo em
precisam ser ao menos os correspondentes em
. Assim obtemos as desigualdades:
Passo 5
Resolvendo cada desigualdade:
Como
deve satisfazer todas simultaneamente, tomamos o máximo das condições:
. O menor inteiro
que funciona é
.
Passo 6
Verificação rápida: para
temos
e isso contém
como fator (pois
tem expoente maior que
), logo
divide
. Para
teríamos
, e os expoentes de
e de
seriam
, então
não divide
. Assim
é realmente mínimo.