Encontre a quantidade de divisores de 210, e em seguida, calcule todos estes divisores.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a quantidade de divisores de 210 e (2) listar todos esses divisores. As informações dadas são apenas o número 210. Não há outras restrições (por exemplo, só divisores positivos), então vamos considerar os divisores inteiros positivos de 210, que é o procedimento padrão.

Passo 2

Primeiro precisamos fatorar 210 em fatores primos. Vou explicar como fazer isso passo a passo, porque é a peça-chave da solução. A fatoração em primos significa escrever 210 como produto de números primos (primos são números que só têm divisores 1 e ele mesmo). O processo prático é dividir por primos pequenos até reduzir o número a 1.
  • Testamos 2: 210 é par, então divide por 2. 210 = 2 \times 105.
  • Agora fatoramos 105. Testamos 3: a soma dos dígitos de 105 é 1+0+5=6, múltiplo de 3, então 105 divide por 3. 105 = 3 \times 35.
  • Agora fatoramos 35. Testamos 5: termina em 5, logo divide por 5. 35 = 5 \times 7.
  • Por fim 7 é primo.
Juntando, obtemos a fatoração prima:
210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7.
Aqui cada primo aparece com expoente 1. Podemos escrever em forma padrão
210 = 2^{1} \cdot 3^{1} \cdot 5^{1} \cdot 7^{1}.

Passo 3

Agora aprender o método para contar divisores a partir da fatoração prima. Seja um número geral
n = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{k}^{\alpha_{k}},
onde p_{i} são primos distintos e \alpha_{i} são expoentes inteiros positivos. Um divisor positivo d de n tem a forma
d = p_{1}^{\beta_{1}} \cdot p_{2}^{\beta_{2}} \cdots p_{k}^{\beta_{k}},
onde cada \beta_{i} satisfaz 0 \le \beta_{i} \le \alpha_{i}. Para cada primo p_{i} \alpha_{i}+1 escolhas possíveis para \beta_{i} (pois \beta_{i} pode ser 0,1,\dots,\alpha_{i}). Como as escolhas para cada primo são independentes, o número total de divisores positivos de n é o produto
\tau(n) = \prod_{i=1}^{k} (\alpha_{i}+1).
Essa fórmula é muito útil e muito usada em provas rápidas.
Exemplo rápido para fixar: para 12 = 2^{2}\cdot 3^{1}, temos \tau(12)=(2+1)(1+1)=3\cdot2=6 divisores, que são 1,2,3,4,6,12.

Passo 4

Aplicamos a fórmula ao nosso caso. Para 210 temos k=4 primos com expoentes \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\alpha_{4}=1. Portanto
\tau(210) = (1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 2\cdot2\cdot2\cdot2 = 16.
Logo, a quantidade de divisores positivos de 210 é \,16.

Passo 5

Agora vamos gerar todos os divisores de 210. Pelo raciocínio do Passo 3, cada divisor é obtido escolhendo, para cada primo 2,3,5,7, um expoente \beta igual a 0 ou 1. Isto corresponde a tomar todos os produtos possíveis formados por qualquer subconjunto dos primos \{2,3,5,7\}. Vou listar de forma organizada: começamos por não escolher nenhum primo (expoentes todos zero) e depois escolhemos subconjuntos de tamanho crescente.
  • Subconjunto vazio (nenhum primo): 1.
  • Subconjuntos com 1 primo: 2,\;3,\;5,\;7.
  • Subconjuntos com 2 primos: 2\cdot3=6,\;2\cdot5=10,\;2\cdot7=14,\;3\cdot5=15,\;3\cdot7=21,\;5\cdot7=35.
  • Subconjuntos com 3 primos: 2\cdot3\cdot5=30,\;2\cdot3\cdot7=42,\;2\cdot5\cdot7=70,\;3\cdot5\cdot7=105.
  • Subconjunto com 4 primos: 2\cdot3\cdot5\cdot7=210.

Passo 6

Vamos ordenar a lista final (do menor para o maior) e checar que temos exatamente \,16 elementos, correspondendo à contagem do Passo 4. A lista ordenada é
1,\;2,\;3,\;5,\;6,\;7,\;10,\;14,\;15,\;21,\;30,\;35,\;42,\;70,\;105,\;210.
Contando-os vemos que são 16 números, compatível com a fórmula.

Resposta

16
\{1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,30,35,42,70,105,210\}

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