Encontre a quantidade de divisores de 210, e em seguida, calcule todos estes divisores.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a quantidade de divisores de
e (2) listar todos esses divisores. As informações dadas são apenas o número
. Não há outras restrições (por exemplo, só divisores positivos), então vamos considerar os divisores inteiros positivos de
, que é o procedimento padrão.
Passo 2
Primeiro precisamos fatorar
em fatores primos. Vou explicar como fazer isso passo a passo, porque é a peça-chave da solução. A fatoração em primos significa escrever
como produto de números primos (primos são números que só têm divisores
e ele mesmo). O processo prático é dividir por primos pequenos até reduzir o número a
.
- Testamos
: é par, então divide por . - Agora fatoramos
. Testamos : a soma dos dígitos de é , múltiplo de , então divide por . - Agora fatoramos
. Testamos : termina em , logo divide por . - Por fim
é primo.
Juntando, obtemos a fatoração prima:
Aqui cada primo aparece com expoente
. Podemos escrever em forma padrão
Passo 3
Agora aprender o método para contar divisores a partir da fatoração prima. Seja um número geral
onde
são primos distintos e
são expoentes inteiros positivos. Um divisor positivo
de
tem a forma
onde cada
satisfaz
. Para cada primo
há
escolhas possíveis para
(pois
pode ser
). Como as escolhas para cada primo são independentes, o número total de divisores positivos de
é o produto
Essa fórmula é muito útil e muito usada em provas rápidas.
Exemplo rápido para fixar: para
, temos
divisores, que são
.
Passo 4
Aplicamos a fórmula ao nosso caso. Para
temos
primos com expoentes
. Portanto
Logo, a quantidade de divisores positivos de
é
.
Passo 5
Agora vamos gerar todos os divisores de
. Pelo raciocínio do Passo 3, cada divisor é obtido escolhendo, para cada primo
, um expoente
igual a
ou
. Isto corresponde a tomar todos os produtos possíveis formados por qualquer subconjunto dos primos
. Vou listar de forma organizada: começamos por não escolher nenhum primo (expoentes todos zero) e depois escolhemos subconjuntos de tamanho crescente.
- Subconjunto vazio (nenhum primo):
. - Subconjuntos com 1 primo:
. - Subconjuntos com 2 primos:
. - Subconjuntos com 3 primos:
. - Subconjunto com 4 primos:
.
Passo 6
Vamos ordenar a lista final (do menor para o maior) e checar que temos exatamente
elementos, correspondendo à contagem do Passo 4. A lista ordenada é
Contando-os vemos que são
números, compatível com a fórmula.