Mostre que se p>1 e p divide ( p-1 )! +1 , então p é primo.

Passo 1

O enunciado dá que p>1 é um inteiro tal que p divide (p-1)!+1; isto é,
p \mid (p-1)!+1.
A pergunta é: mostrar que p é primo.
Informações relevantes que temos: p é inteiro >1 e satisfaz a divisibilidade acima. O que devemos provar: a propriedade " p é primo" (ou seja, seus únicos divisores positivos são 1 e p).

Passo 2

Estratégia didática: vamos provar o contrário e obter contradição. Ou seja, assumimos que p é composto (não primo) e mostramos que isso impede p de dividir (p-1)!+1. Assim concluímos que, se p\mid (p-1)!+1, então p não pode ser composto, logo deve ser primo.
Antes de continuar, recapitulemos dois conceitos simples:
  • Fatorial: (p-1)! significa 1\cdot 2\cdot 3\cdots (p-1).
  • Se um inteiro a aparece entre 1 e p-1, então a divide (p-1)! porque (p-1)! contém o fator a.

Passo 3

Suponha, para chegar a contradição, que p é composto. Então existe um divisor próprio a com 1<a<p. Tome q como o menor primor divisor de p (ou seja, q é o menor primo que divide p). Defina r=\dfrac{p}{q}. Então q e r são inteiros maiores que 1 e menores ou iguais a p-1. Observações:
  • Porque q é um divisor próprio, 1<q<p.
  • Porque r=p/q e q\ge 2, temos r\le p/2 < p, logo 1<r<p.
    Portanto q e r pertencem ao conjunto \{2,3,\dots,p-1\} (possivelmente iguais entre si).

Passo 4

Tratamos dois subcasos:
Caso A: r\neq q.
Então q e r são dois inteiros distintos em \{2,\dots,p-1\}. Como ambos aparecem como fatores em (p-1)!, o produto q\cdot r divide (p-1)!. Mas q\cdot r = p. Portanto p divide (p-1)!, isto é,
(p-1)!\equiv 0 \pmod p.
Logo (p-1)!+1\equiv 1\pmod p, então p não divide (p-1)!+1. Isso contradiz a hipótese p\mid (p-1)!+1.

Passo 5

Caso B: r=q. Então p=q^2 é um quadrado de primo. Aqui precisamos ver se q^2 divide (p-1)! ou não.
Se q\ge 3, então 2q \le q^2- q = p-q < p-1 (mais diretamente, 2q \le q^2-1 para q\ge 3), logo os dois números q e 2q aparecem no produto (p-1)!. Esses dois fatores juntos fornecem pelo menos duas cópias do fator primo q, ou seja, q^2 divide (p-1)!. Assim p=q^2 divide (p-1)! e, como no caso anterior, (p-1)!+1\equiv 1\pmod p, impossível sob a hipótese.
Resta a possibilidade q=2, que dá p=4. Verificamos diretamente: (4-1)!+1=3!+1=6+1=7, e 4 não divide 7. Então p=4 também não satisfaz p\mid (p-1)!+1.
Portanto, em todo subcaso com p composto (seja p com dois fatores distintos, seja p quadrado de primo), não é possível ter p\mid (p-1)!+1.

Passo 6

Concluímos: assumir que p é composto contradiz a hipótese p\mid (p-1)!+1. Logo a hipótese só pode ocorrer se p não for composto, isto é, se p for primo.
Comentário final (didático): essa afirmação é a recíproca de um resultado clássico conhecido como Teorema de Wilson, que diz que para p primo vale (p-1)!\equiv -1\pmod p. Aqui provamos a direção inversa: se (p-1)!\equiv -1\pmod p então p tem de ser primo.

Resposta

\,p\, é primo.

Exercícios relacionados