Mostre que se
e
divide (
)! +1 , então
é primo.
Passo 1
O enunciado dá que
é um inteiro tal que
divide
; isto é,
A pergunta é: mostrar que
é primo.
Informações relevantes que temos: é inteiro
e satisfaz a divisibilidade acima. O que devemos provar: a propriedade "
é primo" (ou seja, seus únicos divisores positivos são
e
).
Informações relevantes que temos:
Passo 2
Estratégia didática: vamos provar o contrário e obter contradição. Ou seja, assumimos que
é composto (não primo) e mostramos que isso impede
de dividir
. Assim concluímos que, se
, então
não pode ser composto, logo deve ser primo.
Antes de continuar, recapitulemos dois conceitos simples:
- Fatorial:
significa . - Se um inteiro
aparece entre e , então divide porque contém o fator .
Passo 3
Suponha, para chegar a contradição, que
é composto. Então existe um divisor próprio
com
. Tome
como o menor primor divisor de
(ou seja,
é o menor primo que divide
). Defina
. Então
e
são inteiros maiores que
e menores ou iguais a
. Observações:
- Porque
é um divisor próprio, . - Porque
e , temos , logo .
Portantoe pertencem ao conjunto (possivelmente iguais entre si).
Passo 4
Tratamos dois subcasos:
Caso A:
.
Então e
são dois inteiros distintos em
. Como ambos aparecem como fatores em
, o produto
divide
. Mas
. Portanto
divide
, isto é,
Então
Logo
, então
não divide
. Isso contradiz a hipótese
.
Passo 5
Caso B:
. Então
é um quadrado de primo. Aqui precisamos ver se
divide
ou não.
Se
, então
(mais diretamente,
para
), logo os dois números
e
aparecem no produto
. Esses dois fatores juntos fornecem pelo menos duas cópias do fator primo
, ou seja,
divide
. Assim
divide
e, como no caso anterior,
, impossível sob a hipótese.
Resta a possibilidade
, que dá
. Verificamos diretamente:
, e
não divide
. Então
também não satisfaz
.
Portanto, em todo subcaso com
composto (seja
com dois fatores distintos, seja
quadrado de primo), não é possível ter
.
Passo 6
Concluímos: assumir que
é composto contradiz a hipótese
. Logo a hipótese só pode ocorrer se
não for composto, isto é, se
for primo.
Comentário final (didático): essa afirmação é a recíproca de um resultado clássico conhecido como Teorema de Wilson, que diz que para
primo vale
. Aqui provamos a direção inversa: se
então
tem de ser primo.