e pede para encontrar os menores principais dessa matriz.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz é de dimensão 3\times3.
Os menores principais são os determinantes das submatrizes obtidas escolhendo um mesmo conjunto de índices de linhas e colunas (ou seja, submatrizes principais). Para uma matriz 3\times3 existem:
três menores principais de ordem 1 (cada um é um elemento da diagonal),
três menores principais de ordem 2 (submatrizes 2\times2 formadas pelos pares de índices \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}),
um menor principal de ordem 3 (o determinante da própria matriz A).
O que é pedido: calcular todos esses determinantes (os menores principais de ordens 1, 2 e 3).
Passo 2
Menores principais de ordem 1.
Explicação rápida: um menor principal de ordem 1 é simplesmente o elemento correspondente da diagonal principal; o determinante de uma matriz 1\times1\bigl([a]\bigr) é a.
Aplicando à matriz A:
menor principal correspondente ao índice 1: \det\bigl([a_{11}]\bigr)=\det\bigl([2]\bigr)=2.
menor principal correspondente ao índice 2: \det\bigl([a_{22}]\bigr)=\det\bigl([3]\bigr)=3.
menor principal correspondente ao índice 3: \det\bigl([a_{33}]\bigr)=\det\bigl([5]\bigr)=5.
Passo 3
Menores principais de ordem 2.
Como escolher: para cada par de índices iguais nas linhas e colunas formamos a submatriz 2\times2. A fórmula do determinante de uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}
é
\det = ad - bc.
Agora calculamos os três casos:
índices \{1,2\} (submatriz formada pelas linhas e colunas 1 e 2):
\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 4 & 3 \end{pmatrix}
Aplicando \det = ad-bc:
\det = 2\cdot 3 - 1\cdot 4 = 6 - 4 = 2.
índices \{1,3\} (linhas/colunas 1 e 3):
\begin{pmatrix} 2 & -1 \\\\ -2 & 5 \end{pmatrix}
Aplicando a fórmula:
\det = 2\cdot 5 - (-1)\cdot(-2) = 10 - 2 = 8.
índices \{2,3\} (linhas/colunas 2 e 3):
\begin{pmatrix} 3 & 2 \\\\ 1 & 5 \end{pmatrix}
Aplicando a fórmula:
\det = 3\cdot 5 - 2\cdot 1 = 15 - 2 = 13.
Passo 4
Menor principal de ordem 3: determinante da matriz A.
Aqui vou usar a regra de Sarrus (prática para 3\times3). Para a matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
a regra de Sarrus diz que
\det = aei + bfg + cdh - (ceg + afh + bdi).
Para A temos a=2, b=1, c=-1, d=4, e=3, f=2, g=-2, h=1, i=5. Substituindo:
(Confirmação alternativa: expansão por cofatores dá o mesmo -8.)
Passo 5
Resumo do que foi calculado (os valores foram encontrados nos passos anteriores). Mantenha a calma — pequenas contas e atenção nos sinais resolveram tudo. Você tá indo bem!
Resposta
Menores principais de ordem 1: 2,\;3,\;5
Menores principais de ordem 2: 2,\;8,\;13
Menor principal de ordem 3: -8