Resolva o sistema triangular superior:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=3 \\\\ 2 x_{2}-x_{3}=-4 \\\\ 3 x_{3}=6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece um sistema linear de três equações com três incógnitas. As equações são:
\begin{cases} x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=3,\\[6pt] 2 x_{2}-x_{3}=-4,\\[6pt] 3 x_{3}=6. \end{cases}
O que o problema pede é encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem simultaneamente todas as três equações.]

Passo 2

Observação sobre a forma do sistema e estratégia (explicação didática): a matriz de coeficientes é do tipo “triangular superior” (a terceira equação envolve apenas x_{3}; a segunda envolve x_{2} e x_{3}; a primeira envolve x_{1},x_{2},x_{3}). Para esse tipo de sistema a técnica mais direta é a “substituição regressiva” (back-substitution): primeiro resolve-se a última equação para a última incógnita, depois usa-se esse valor na penúltima para achar a penúltima incógnita, e assim por diante. Isso evita resolver várias equações simultaneamente e é rápido na prova.
Regra geral (fórmula conceitual): num sistema triangular superior de ordem n
a_{ii} x_i + \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_j = b_i,\qquad i=n,n-1,\dots,1,
primeiro encontra-se x_n a partir da equação i=n, depois substitui-se em i=n-1 para obter x_{n-1}, e assim por diante.

Passo 3

Resolver a terceira equação para x_{3}. A terceira equação é
3 x_{3}=6.
Isolando x_{3}: divide-se ambos os lados por 3,
x_{3}=\frac{6}{3}=2.
Portanto x_{3}=2. (Comentário: isolar uma variável significa aplicar operações inversas àquelas aplicadas a ela — aqui a variável estava multiplicada por 3, então dividimos por 3.)

Passo 4

Usar o valor de x_{3} na segunda equação para encontrar x_{2}. A segunda equação é
2 x_{2}-x_{3}=-4.
Substituindo x_{3}=2 nessa equação:
2 x_{2}-2=-4.
Agora isolamos x_{2}: somamos 2 aos dois lados para eliminar o -2 do lado esquerdo,
2 x_{2}=-4+2=-2.
Em seguida dividimos por 2:
x_{2}=\frac{-2}{2}=-1.
Logo x_{2}=-1. (Comentário: operar a mesma coisa em ambos os lados mantém a igualdade; aqui usamos adição e depois divisão.)

Passo 5

Usar x_{2} e x_{3} na primeira equação para encontrar x_{1}. A primeira equação é
x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=3.
Substituindo x_{2}=-1 e x_{3}=2:
x_{1}+2(-1)+2=3.
Calcular 2(-1)=-2 e continuar:
x_{1}-2+2=3.
Simplificando -2+2=0,
x_{1}=3.
Portanto x_{1}=3.

Passo 6

Verificação rápida (sempre faça na prova para evitar erro de conta). Substituir (x_{1},x_{2},x_{3})=(3,-1,2) em cada equação:
Primeira equação:
3 + 2(-1) + 2 = 3 -2 +2 = 3 \quad\checkmark
Segunda equação:
2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4 \quad\checkmark
Terceira equação:
3\cdot 2 = 6 \quad\checkmark
Todas as equações são satisfeitas, então a solução está correta.

Resposta

x_{1}=3
x_{2}=-1
x_{3}=2

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