Encontre os menores principais da matriz:
A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 4 & 3 & 1 & 2 \\\\ -2 & 0 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre os menores principais da matriz” e fornece a matriz
A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 4 & 3 & 1 & 2 \\\\ -2 & 0 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A é quadrada de ordem 4.
  • Queremos os menores principais. Aqui vamos interpretar isso como os menores principais “progressivos” (ou “leading principal minors”): os determinantes dos sub-blocos superiores à esquerda de tamanhos 1\times1, 2\times2, 3\times3 e 4\times4. Ou seja, calcular
\Delta_1=\det(A_{1}),\quad \Delta_2=\det(A_{2}),\quad \Delta_3=\det(A_{3}),\quad \Delta_4=\det(A_{4}),
onde A_k é a submatriz formada pelas primeiras k linhas e primeiras k colunas de A.

Passo 2

O que é um menor principal (leading principal minor) e como calcular determinantes básicos:
  • O menor principal de ordem k é o determinante da submatriz k\times k extraída das primeiras k linhas e colunas.
  • Para matrizes 1\times1 e 2\times2 usamos fórmulas diretas: \text{Se }B=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix},\quad \det(B)=ad-bc.
  • Para matrizes 3\times3 uma forma prática é usar expansão por cofactor (desenvolver por uma linha ou coluna) ou a regra de Sarrus. Expansão por cofactor: ao desenvolver pela primeira linha, por exemplo, \det(B)=b_{11}\cdot C_{11}+b_{12}\cdot C_{12}+b_{13}\cdot C_{13},onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) e M_{1j} é a matriz obtida removendo linha 1 e coluna j.
  • Para 4\times4 podemos:
    • desenvolver por uma linha/coluna (mas pode ficar trabalhoso), ou
    • usar operações elementares do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” (essas operações NÃO mudam o determinante) para triangularizar e então multiplicar os elementos da diagonal. Atenção: trocar duas linhas muda o sinal do determinante; multiplicar uma linha por escalar c multiplica o determinante por c. Somar múltiplo de linha a outra preserva o determinante — essa é a operação que usaremos para simplificar a conta sem alterar o determinante.

Passo 3

Cálculo de \Delta_1. A submatriz A_1 é apenas o elemento superior esquerdo:
A_1=(2).
Logo
\Delta_1=\det(A_1)=2.

Passo 4

Cálculo de \Delta_2. A submatriz A_2 é
A_2=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\[4pt] 4 & 3 \end{array}\right).
Usando a fórmula de 2\times2,
\Delta_2=\det(A_2)=2\cdot3-1\cdot4=6-4=2.]

Passo 5

Cálculo de \Delta_3. A submatriz A_3 é
A_3=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 3 & 1\\[4pt] -2 & 0 & 2 \end{array}\right).
Vamos desenvolver pela primeira linha (expansão por cofactor). Os cofatores da primeira linha:
  • Para a posição (1,1): eliminar linha 1 coluna 1 dá M_{11}=\begin{pmatrix}3&1\\[4pt]0&2\end{pmatrix} e C_{11}=(-1)^{1+1}\det(M_{11})=1\cdot(3\cdot2-1\cdot0)=6.
  • Para a posição (1,2): M_{12}=\begin{pmatrix}4&1\\[4pt]-2&2\end{pmatrix} e C_{12}=(-1)^{1+2}\det(M_{12})=-1\cdot(4\cdot2-1\cdot(-2))=-1\cdot(8+2)=-10.
  • Para a posição (1,3): o elemento é 0, então sua contribuição é zero (não precisamos calcular C_{13}).
    Agora a expansão:
\Delta_3=\det(A_3)=2\cdot C_{11}+1\cdot C_{12}+0\cdot C_{13}=2\cdot6+1\cdot(-10)=12-10=2.]

Passo 6

Breve comentário didático sobre o resultado até aqui: já vemos um padrão curioso ( \Delta_1=\Delta_2=\Delta_3=2). Mas não vamos assumir nada sem calcular \Delta_4.

Passo 7

Cálculo de \Delta_4=\det(A). Escrevo A e faço operações por linhas que preservam o determinante para simplificar:
A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 4 & 3 & 1 & 2 \\\\ -2 & 0 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right).
Faço as seguintes operações (cada operação do tipo “linha := linha + c·(outra linha)” preserva o determinante):
  1. R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2=(4,3,1,2)-2(2,1,0,1)=(0,1,1,0).
  1. R_3 \leftarrow R_3 + R_1:
R_3=(-2,0,2,1)+(2,1,0,1)=(0,1,2,2).
  1. R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{1}{2}R_1 (aqui introduzimos fração, mas ainda é operação do tipo linha := linha + c·linha, que preserva determinante):
R_4=(1,1,1,3)-\tfrac{1}{2}(2,1,0,1)=(0,\tfrac{1}{2},1,\tfrac{5}{2}).
Depois dessas operações obtemos a matriz equivalente (mesmo determinante):
\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 2 \\\\ 0 & \tfrac{1}{2} & 1 & \tfrac{5}{2} \end{array}\right).
Como a primeira coluna possui apenas o elemento 2 na posição (1,1) e zeros abaixo, podemos escrever
\det(A)=2\cdot\det(B),
onde B é a submatriz 3\times3 formada pelas linhas 2,3,4 e colunas 2,3,4:
B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 2\\[4pt] \tfrac{1}{2} & 1 & \tfrac{5}{2} \end{array}\right).
Calculo \det(B) por operações para simplificar:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1 (0,1,2).
  • R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{2}R_1 (0,\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{2}).
    Assim
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2} \end{array}\right).
Agora \det(B) é 1 multiplicado pelo determinante do 2\times2 inferior direita:
\det(B)=1\cdot\det\!\left(\begin{array}{cc}1 & 2\\[4pt]\tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2}\end{array}\right) =1\cdot\left(1\cdot\tfrac{5}{2}-2\cdot\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{5}{2}-1=\tfrac{3}{2}.
Portanto
\det(A)=2\cdot\det(B)=2\cdot\tfrac{3}{2}=3.
Assim \Delta_4=3.]

Passo 8

Resumo dos menores principais calculados:
\Delta_1=2,\qquad \Delta_2=2,\qquad \Delta_3=2,\qquad \Delta_4=3.

Resposta

\Delta_1=2
\Delta_2=2
\Delta_3=2
\Delta_4=3

Exercícios relacionados