Queremos os menores principais. Aqui vamos interpretar isso como os menores principais “progressivos” (ou “leading principal minors”): os determinantes dos sub-blocos superiores à esquerda de tamanhos 1\times1, 2\times2, 3\times3 e 4\times4. Ou seja, calcular
onde A_k é a submatriz formada pelas primeiras k linhas e primeiras k colunas de A.
Passo 2
O que é um menor principal (leading principal minor) e como calcular determinantes básicos:
O menor principal de ordem k é o determinante da submatriz k\times k extraída das primeiras k linhas e colunas.
Para matrizes 1\times1 e 2\times2 usamos fórmulas diretas:\text{Se }B=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix},\quad \det(B)=ad-bc.
Para matrizes 3\times3 uma forma prática é usar expansão por cofactor (desenvolver por uma linha ou coluna) ou a regra de Sarrus. Expansão por cofactor: ao desenvolver pela primeira linha, por exemplo,\det(B)=b_{11}\cdot C_{11}+b_{12}\cdot C_{12}+b_{13}\cdot C_{13},onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) e M_{1j} é a matriz obtida removendo linha 1 e coluna j.
Para 4\times4 podemos:
desenvolver por uma linha/coluna (mas pode ficar trabalhoso), ou
usar operações elementares do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” (essas operações NÃO mudam o determinante) para triangularizar e então multiplicar os elementos da diagonal. Atenção: trocar duas linhas muda o sinal do determinante; multiplicar uma linha por escalar c multiplica o determinante por c. Somar múltiplo de linha a outra preserva o determinante — essa é a operação que usaremos para simplificar a conta sem alterar o determinante.
Passo 3
Cálculo de \Delta_1. A submatriz A_1 é apenas o elemento superior esquerdo:
Vamos desenvolver pela primeira linha (expansão por cofactor). Os cofatores da primeira linha:
Para a posição (1,1): eliminar linha 1 coluna 1 dá M_{11}=\begin{pmatrix}3&1\\[4pt]0&2\end{pmatrix} eC_{11}=(-1)^{1+1}\det(M_{11})=1\cdot(3\cdot2-1\cdot0)=6.
Para a posição (1,2): M_{12}=\begin{pmatrix}4&1\\[4pt]-2&2\end{pmatrix} eC_{12}=(-1)^{1+2}\det(M_{12})=-1\cdot(4\cdot2-1\cdot(-2))=-1\cdot(8+2)=-10.
Para a posição (1,3): o elemento é 0, então sua contribuição é zero (não precisamos calcular C_{13}).
Agora a expansão:
Breve comentário didático sobre o resultado até aqui: já vemos um padrão curioso (\Delta_1=\Delta_2=\Delta_3=2). Mas não vamos assumir nada sem calcular \Delta_4.
Passo 7
Cálculo de \Delta_4=\det(A). Escrevo A e faço operações por linhas que preservam o determinante para simplificar: