Resolva o sistema triangular superior:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}=7 \\\\ 3 x_{2}+2 x_{3}=11 \\\ x_{3}=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de três equações em três incógnitas:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}=7,\\[4pt] 3 x_{2}+2 x_{3}=11,\\[4pt] x_{3}=4. \end{array}\right.
O que se pede: encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem simultaneamente essas três equações.]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): como a terceira equação já dá diretamente o valor de x_{3}, podemos usar esse valor nas equações acima para encontrar primeiro x_{2} e depois x_{1}. Esta técnica é chamada de substituição para sistemas triangulares superiores.
Formalmente, para um sistema triangular superior genérico de ordem n temos equações da forma
a_{kk}x_{k}+\sum_{j=k+1}^{n}a_{kj}x_{j}=b_{k},
onde a_{kk} é o coeficiente da incógnita x_{k} na k-ésima equação, os a_{kj} são coeficientes das incógnitas com índices maiores que k, e b_{k} é o termo à direita. A fórmula de retro-substituição para x_{k} é
x_{k}=\frac{1}{a_{kk}}\Bigl(b_{k}-\sum_{j=k+1}^{n}a_{kj}x_{j}\Bigr).
Aqui: n=3. Vamos aplicar essa ideia começando por x_{3}, depois x_{2} e por fim x_{1}.

Passo 3

Encontrar x_{3}: a terceira equação já dá
x_{3}=4.
Nada a calcular aqui além de reconhecer o valor.

Passo 4

Encontrar x_{2}: usamos a segunda equação
3 x_{2}+2 x_{3}=11.
Substituímos o valor de x_{3} (pegamos este valor da terceira equação):
3 x_{2}+2\cdot 4=11.
Calcule 2\cdot 4:
3 x_{2}+8=11.
Isolamos 3 x_{2} subtraindo 8 de ambos os lados:
3 x_{2}=11-8=3.
Dividimos ambos os lados por 3 para obter x_{2}:
x_{2}=\frac{3}{3}=1.

Passo 5

Encontrar x_{1}: usamos a primeira equação
2 x_{1}-x_{2}+x_{3}=7.
Substituímos os valores que já encontramos: x_{2}=1 e x_{3}=4 (pegamos esses valores dos passos anteriores):
2 x_{1}-1+4=7.
Calcule -1+4:
2 x_{1}+3=7.
Isolamos 2 x_{1} subtraindo 3 de ambos os lados:
2 x_{1}=7-3=4.
Dividimos ambos os lados por 2:
x_{1}=\frac{4}{2}=2.

Passo 6

Verificação rápida (checar que os três valores satisfazem todas as equações):
  • Primeira equação: substituindo x_{1}=2, x_{2}=1, x_{3}=4,
2\cdot 2 - 1 + 4 = 4 - 1 + 4 = 7,
que bate com o lado direito 7.
  • Segunda equação:
3\cdot 1 + 2\cdot 4 = 3 + 8 = 11,
que bate com 11.
  • Terceira equação:
x_{3}=4,
já satisfeita.
Tudo confere, solução correta encontrada.

Resposta

x_{1}=2
x_{2}=1
x_{3}=4

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