囲 O raio da Terra é de aproximadamente 6400 km; um corpo situado a x quilômetros do centro da Terra pesa p(x) kg, em que
p(x)= A x & para x <= 4000 Bx^2 & para x>4000
com A e B constantes positivas. Qual deve ser a relação entre A e B para que p(x) seja contínua para qualquer valor de x? Esboce o gráfico de p(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função que descreve o peso de um corpo em função da sua distância ao centro da Terra. Essa função tem duas partes:
  • Para distâncias menores ou iguais a 4000 km, o peso é dado por $ p(x) = A x $.
  • Para distâncias maiores que 4000 km, o peso é $ p(x) = \frac{B}{x^{2}} $.
Queremos encontrar a relação entre as constantes $ A $ e $ B $ para que a função $ p(x) $ seja contínua em qualquer valor de $ x $. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “quebras” nesse ponto. No nosso caso, a função muda de forma exatamente em $ x = 4000 $ km, então precisamos garantir que não haja nenhum salto ali.

Passo 3

Para garantir a continuidade em $ x = 4000 $, os valores das duas partes da função devem ser iguais nesse ponto. Ou seja:
x = 4000
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre $ A $ e $ B $.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por $ 4000^{2} $ para eliminar o denominador:
4000^2
A times 4000 times 4000^2 = B
Isso nos dá a relação necessária entre $ A $ e $ B $ para que a função seja contínua em $ x = 4000 $ km.

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico de $ p(x) $.
  • Para $ x \leq 4000 $: A função é linear, ou seja, uma reta que passa pela origem com inclinação $ A $.
  • Para $ x > 4000 $: A função é uma hipérbole decrescente, já que $ \frac{B}{x^{2}} $ diminui conforme $ x $ aumenta.
No ponto $ x = 4000 $, as duas partes do gráfico se encontram no mesmo valor, garantindo que não haja salto.

Resposta

A relação entre $ A $ e $ B $ para que $ p(x) $ seja contínua é:
A
Isso assegura que o peso não tenha nenhum salto em $ x = 4000 $ km. O gráfico de $ p(x) $ apresenta uma reta linear para $ x \leq 4000 $ km e uma hipérbole decrescente para $ x > 4000 $ km, conectando-se suavemente no ponto $ x = 4000 $ km.

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