囲 O raio da Terra é de aproximadamente 6400 km; um corpo situado a
quilômetros do centro da Terra pesa
, em que
com
e
constantes positivas. Qual deve ser a relação entre
e
para que
seja contínua para qualquer valor de
? Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função que descreve o peso de um corpo em função da sua distância ao centro da Terra. Essa função tem duas partes:
- Para distâncias menores ou iguais a 4000 km, o peso é dado por $ p(x) = A x $.
- Para distâncias maiores que 4000 km, o peso é $ p(x) = \frac{B}{x^{2}} $.
Queremos encontrar a relação entre as constantes $ A $ e $ B $ para que a função $ p(x) $ seja contínua em qualquer valor de $ x $. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “quebras” nesse ponto. No nosso caso, a função muda de forma exatamente em $ x = 4000 $ km, então precisamos garantir que não haja nenhum salto ali.
Passo 3
Para garantir a continuidade em $ x = 4000 $, os valores das duas partes da função devem ser iguais nesse ponto. Ou seja:
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre $ A $ e $ B $.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por $ 4000^{2} $ para eliminar o denominador:
Isso nos dá a relação necessária entre $ A $ e $ B $ para que a função seja contínua em $ x = 4000 $ km.
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico de $ p(x) $.
-
Para $ x \leq 4000 $: A função é linear, ou seja, uma reta que passa pela origem com inclinação $ A $.
-
Para $ x > 4000 $: A função é uma hipérbole decrescente, já que $ \frac{B}{x^{2}} $ diminui conforme $ x $ aumenta.
No ponto $ x = 4000 $, as duas partes do gráfico se encontram no mesmo valor, garantindo que não haja salto.
Resposta
A relação entre $ A $ e $ B $ para que $ p(x) $ seja contínua é:
Isso assegura que o peso não tenha nenhum salto em $ x = 4000 $ km. O gráfico de $ p(x) $ apresenta uma reta linear para $ x \leq 4000 $ km e uma hipérbole decrescente para $ x > 4000 $ km, conectando-se suavemente no ponto $ x = 4000 $ km.