Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de x.
a) f(x)=5 x^2-6 x+1 em x=2
b) f(x)=x+2x+1 em x=1
c) f(x)=llx+1 & para x <= 2 2 & para x>2, em x=2
d) f(x)=llx^2-1x+1 & para x<-1 x^2-3 & para x >=-1, em x=-1
e) f(x)=llx+1 & para x <= 2 2 & para x>2, em x=2
f) f(x)=x+2x+1 em x=1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada função é contínua num ponto específico. Vamos usar o conceito de continuidade: uma função f é contínua em x₀ se limxto x₀f(x)=f(x₀) e x₀ está no domínio de f.

Passo 2

Para a) temos f(x)=5x^2-6x+1. Como polinômios são contínuos em todo ponto, automaticamente f é contínua em x=2.

Passo 3

Em b) f(x)=x+2x+1. Funções racionais são contínuas onde o denominador não é zero. Aqui em x=1 o denominador vale 2, então limxto1f(x)=f(1)=tfrac32. Logo é contínua em x=1.

Passo 4

No item c) a função é dada por
f(x)=x+1,&x<=22,&x>2
Avalia-se as limites laterais em x=2:
limxto2^-f(x)=2+1=3 e limxto2^+f(x)=2. Como esses valores são diferentes, não existe limxto2f(x), logo é descontínua em x=2.

Passo 5

Em d) temos
f(x)=x^2-1x+1,&x<-1x^2-3,&x>=-1
Para x<-1 simplificamos x^2-1x+1=x-1. Então
limxto-1^-f(x)=(-1)-1=-2 e
limxto-1^+f(x)=(-1)^2-3=-2.
Além disso f(-1)=(-1)^2-3=-2. Como limxto-1f(x)=f(-1)=-2, a função é contínua em x=-1.

Passo 6

Para e) a função é idêntica à do item c), então a análise é a mesma e resulta em descontínua em x=2.

Passo 7

No f) a função coincide com a de b), portanto é contínua em x=1 pelas mesmas razões de b).

Resposta

a) contínua
b) contínua
c) descontínua
d) contínua
e) descontínua
f) contínua

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