Encontre pelo menos duas curvas
e
distintas satisfazendo:
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre pelo menos duas curvas paramétricas distintas
e
que satisfaçam a relação implícita dada:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A equação que os pontos
da curva devem satisfazer é . - Não há restrição adicional sobre o domínio dos parâmetros
. - Preciso fornecer pelo menos duas parametrizações distintas (ou seja, funções diferentes
que, junto com , produzam pontos que sempre satisfazem a equação).
Passo 2
Ideia geral (explicação didática e simples): se temos uma curva definida por
(aqui
), uma maneira direta de parametrizar é escolher qualquer função
e definir
Por que isso funciona? Porque para qualquer valor de
teremos
logo o par
satisfaz exatamente a equação implícita. Ou seja, há muita liberdade: qualquer escolha de
(contínua, diferenciável, etc., conforme o que for desejado) gera uma parametrização da parábola deslocada para baixo em 5 unidades.
Passo 3
Primeira parametrização simples — a mais óbvia e frequentemente usada em prova:
Escolho
Escolho
Pelo passo anterior, defino
Assim obtenho a curva
Verificação rápida: substituindo
na equação original dá
, exatamente o que coloquei. Essa parametrização percorre a parábola com velocidade uniforme na coordenada
.
Passo 4
Segunda parametrização — uma reparametrização simples que muda a velocidade e dá uma curva distinta:
Escolho
Escolho
Então
Logo
Verificação: para todo
temos
, logo a relação é satisfeita. Essa parametrização é distinta da anterior porque, por exemplo, para
temos
enquanto
: pontos diferentes para o mesmo parâmetro
. Mesmo se reparametrizássemos para obter a mesma imagem de ponto a ponto, a função que associa
a pontos é diferente — portanto são parametrizações distintas.
Passo 5
Terceira parametrização (opcional, para mostrar variedade e discutir regularidade): escolho uma
não linear, por exemplo
Então
e
Verificação: novamente
. Esta parametrização é diferente das anteriores e, note, ela faz a variável
sempre não negativa (pois
), então sua imagem como conjunto cobre apenas a parte direita da parábola (cada
é atingido duas vezes, por
e
); também tem a característica que o vetor velocidade pode ser zero em pontos (ver passo seguinte).
Passo 6
Comentário útil para prova sobre regularidade e escolha de
(aulas rápidas):
- A derivada da parametrização é
sempre que . Em termos práticos, se então e a parametrização é regular (não “para” no parâmetro). - Exemplo: para
com temos , nunca é o vetor nulo — boa parametrização para provas e para trabalhar com tangentes. - Para
com temos , também nunca nulo. - Para
com temos , que é zero no . Então não é regular em ; isso é permitido, mas em provas às vezes exigem parametrizações regulares, então prefira escolhas com .
Dica prática para prova: escolha
(reta em
) para obter parametrizações simples e regulares; por exemplo
ou
funcionam muito bem.