Encontre pelo menos duas curvas \gamma_{0}(t)=(x(t), y(t)) e \gamma_{1}(t)=\left(x_{1}(t), y_{1}(t)\right) distintas satisfazendo:
y=x^{2}-5

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre pelo menos duas curvas paramétricas distintas \gamma_{0}(t)=(x(t),y(t)) e \gamma_{1}(t)=\bigl(x_{1}(t),y_{1}(t)\bigr) que satisfaçam a relação implícita dada:
y = x^{2} - 5.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A equação que os pontos (x,y) da curva devem satisfazer é \;y = x^{2} - 5\;.
  • Não há restrição adicional sobre o domínio dos parâmetros t.
  • Preciso fornecer pelo menos duas parametrizações distintas (ou seja, funções diferentes x(t) que, junto com y(t), produzam pontos que sempre satisfazem a equação).

Passo 2

Ideia geral (explicação didática e simples): se temos uma curva definida por \;y=f(x)\; (aqui f(x)=x^{2}-5), uma maneira direta de parametrizar é escolher qualquer função x(t) e definir
y(t)=\bigl(x(t)\bigr)^{2}-5.
Por que isso funciona? Porque para qualquer valor de t teremos
y(t)=x(t)^{2}-5,
logo o par \bigl(x(t),y(t)\bigr) satisfaz exatamente a equação implícita. Ou seja, há muita liberdade: qualquer escolha de x(t) (contínua, diferenciável, etc., conforme o que for desejado) gera uma parametrização da parábola deslocada para baixo em 5 unidades.

Passo 3

Primeira parametrização simples — a mais óbvia e frequentemente usada em prova:
Escolho
x(t)=t.
Pelo passo anterior, defino
y(t)=t^{2}-5.
Assim obtenho a curva
\gamma_{0}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(t,\;t^{2}-5\bigr).
Verificação rápida: substituindo x(t)=t na equação original dá y=t^{2}-5, exatamente o que coloquei. Essa parametrização percorre a parábola com velocidade uniforme na coordenada x.

Passo 4

Segunda parametrização — uma reparametrização simples que muda a velocidade e dá uma curva distinta:
Escolho
x_{1}(t)=2t.
Então
y_{1}(t)=\bigl(2t\bigr)^{2}-5 = 4t^{2}-5.
Logo
\gamma_{1}(t)=\bigl(x_{1}(t),y_{1}(t)\bigr)=\bigl(2t,\;4t^{2}-5\bigr).
Verificação: para todo t temos y_{1}(t) = x_{1}(t)^{2}-5, logo a relação é satisfeita. Essa parametrização é distinta da anterior porque, por exemplo, para t=1 temos \gamma_{0}(1)=(1,-4) enquanto \gamma_{1}(1)=(2,-1): pontos diferentes para o mesmo parâmetro t. Mesmo se reparametrizássemos para obter a mesma imagem de ponto a ponto, a função que associa t a pontos é diferente — portanto são parametrizações distintas.

Passo 5

Terceira parametrização (opcional, para mostrar variedade e discutir regularidade): escolho uma x(t) não linear, por exemplo
x_{2}(t)=t^{2}.
Então
y_{2}(t)=\bigl(t^{2}\bigr)^{2}-5=t^{4}-5,
e
\gamma_{2}(t)=\bigl(t^{2},\;t^{4}-5\bigr).
Verificação: novamente y_{2}(t)=x_{2}(t)^{2}-5. Esta parametrização é diferente das anteriores e, note, ela faz a variável x sempre não negativa (pois x_{2}(t)=t^{2}\ge0), então sua imagem como conjunto cobre apenas a parte direita da parábola (cada x>0 é atingido duas vezes, por t=+\sqrt{x} e t=-\sqrt{x}); também tem a característica que o vetor velocidade pode ser zero em pontos (ver passo seguinte).

Passo 6

Comentário útil para prova sobre regularidade e escolha de x(t) (aulas rápidas):
  • A derivada da parametrização é \gamma'(t)=\bigl(x'(t),\;2x(t)x'(t)\bigr) sempre que y(t)=x(t)^{2}-5. Em termos práticos, se x'(t)\neq 0 então \gamma'(t)\neq (0,0) e a parametrização é regular (não “para” no parâmetro).
  • Exemplo: para \gamma_{0} com x(t)=t temos \gamma_{0}'(t)=(1,2t), nunca é o vetor nulo — boa parametrização para provas e para trabalhar com tangentes.
  • Para \gamma_{1} com x_{1}(t)=2t temos \gamma_{1}'(t)=(2,8t), também nunca nulo.
  • Para \gamma_{2} com x_{2}(t)=t^{2} temos \gamma_{2}'(t)=(2t,4t^{3}), que é zero no t=0. Então \gamma_{2} não é regular em t=0; isso é permitido, mas em provas às vezes exigem parametrizações regulares, então prefira escolhas com x'(t)\neq0.
Dica prática para prova: escolha x(t)=at+b (reta em t) para obter parametrizações simples e regulares; por exemplo x(t)=t ou x(t)=2t funcionam muito bem.

Resposta

\gamma_{0}(t)=\bigl(t,\;t^{2}-5\bigr)
\gamma_{1}(t)=\bigl(2t,\;4t^{2}-5\bigr)
\gamma_{2}(t)=\bigl(t^{2},\;t^{4}-5\bigr)

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