Encontre pelo menos duas curvas
e
distintas satisfazendo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar pelo menos duas curvas parametrizadas distintas
e
que satisfaçam a equação da circunferência
Informações dadas:
O objetivo é fornecer ao menos duas parametrizações diferentes da mesma circunferência.
Passo 2
O que significa parametrizar uma curva? Uma parametrização é dar
e
como funções de um parâmetro
de modo que, para todo
do domínio escolhido, o ponto
pertença à curva. Para uma circunferência de centro
e raio
a parametrização trigonométrica padrão é
porque sabemos que
, logo
Vou usar essa ideia para a primeira parametrização. Depois vou apresentar uma parametrização distinta (racional) obtida por projeção estereográfica, que é prática quando se quer evitar funções trigonométricas.
Passo 3
Construindo a primeira parametrização pelo método trigonométrico: como o centro é
e o raio é
, tomo
com domínio por exemplo
ou
(a parametrização é
-periódica). Verificação passo a passo:
Portanto
satisfaz a equação da circunferência. Comentário didático: esta é a parametrização “padrão”, fácil de lembrar e muito usada em provas.
Passo 4
Explicando como obter uma parametrização alternativa racional (sem
e
): escrevemos
(projeção estereográfica), que dá as identidades
onde
corresponde a
e o caso
fica associado a
. Substituindo essas expressões na parametrização trigonométrica com
, obtemos uma parametrização racional em
.
Passo 5
Construindo explicitamente a segunda parametrização racional: usando
tal que
, tomo
com domínio
(podemos incluir
para o ponto restante). Para verificar que esta parametrização realmente dá a circunferência, calculamos
Agora simplifico o numerador:
Logo
Assim
também parametriza a mesma circunferência.
Passo 6
Mostrando que as parametrizações são distintas (isto é, são funções diferentes de
): por exemplo, para
,
enquanto
Como
, as funções são diferentes. Observação: ambas descrevem a mesma curva geométrica (a mesma circunferência), mas percorrem os pontos de formas diferentes (diferente dependência em
).
Passo 7
Resumo didático rápido para a prova:
- Se a questão pede uma parametrização direta de uma circunferência dada pelo centro
e raio , lembre-se de usar
- Se quiser uma forma racional (útil quando pedir funções racionais ou evitar trigonometria), use a substituição
e as fórmulas
depois substitua na parametrização trigonométrica.