Encontre pelo menos duas curvas \gamma_{0}(t)=(x(t), y(t)) e \gamma_{1}(t)=\left(x_{1}(t), y_{1}(t)\right) distintas satisfazendo:
(x-1)^{2}+(y-4)^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar pelo menos duas curvas parametrizadas distintas \gamma_{0}(t)=(x(t),y(t)) e \gamma_{1}(t)=(x_{1}(t),y_{1}(t)) que satisfaçam a equação da circunferência
(x-1)^{2}+(y-4)^{2}=4.
Informações dadas:
\text{centro } = (1,4),\qquad \text{raio } = 2.
O objetivo é fornecer ao menos duas parametrizações diferentes da mesma circunferência.

Passo 2

O que significa parametrizar uma curva? Uma parametrização é dar x e y como funções de um parâmetro t de modo que, para todo t do domínio escolhido, o ponto (x(t),y(t)) pertença à curva. Para uma circunferência de centro (a,b) e raio R a parametrização trigonométrica padrão é
x(t)=a+R\cos t,\qquad y(t)=b+R\sin t,
porque sabemos que \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, logo
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=R^{2}.
Vou usar essa ideia para a primeira parametrização. Depois vou apresentar uma parametrização distinta (racional) obtida por projeção estereográfica, que é prática quando se quer evitar funções trigonométricas.

Passo 3

Construindo a primeira parametrização pelo método trigonométrico: como o centro é (1,4) e o raio é 2, tomo
\gamma_{0}(t)=(x(t),y(t))=\bigl(1+2\cos t,\;4+2\sin t\bigr),
com domínio por exemplo t\in[0,2\pi) ou t\in\mathbb{R} (a parametrização é 2\pi-periódica). Verificação passo a passo:
x(t)-1=2\cos t,\qquad y(t)-4=2\sin t,
(x(t)-1)^{2}+(y(t)-4)^{2}=(2\cos t)^{2}+(2\sin t)^{2}=4(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=4.
Portanto \gamma_{0}(t) satisfaz a equação da circunferência. Comentário didático: esta é a parametrização “padrão”, fácil de lembrar e muito usada em provas.

Passo 4

Explicando como obter uma parametrização alternativa racional (sem \sin e \cos): escrevemos t=\tan(\theta/2) (projeção estereográfica), que dá as identidades
\cos\theta=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\qquad \sin\theta=\frac{2t}{1+t^{2}},
onde t\in\mathbb{R} corresponde a \theta\in(-\pi,\pi) e o caso \theta=\pi fica associado a t\to\infty. Substituindo essas expressões na parametrização trigonométrica com R=2, obtemos uma parametrização racional em t.

Passo 5

Construindo explicitamente a segunda parametrização racional: usando \theta tal que t=\tan(\theta/2), tomo
x_{1}(t)=1+2\cos\theta=1+2\cdot\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},
y_{1}(t)=4+2\sin\theta=4+2\cdot\frac{2t}{1+t^{2}}=4+\frac{4t}{1+t^{2}},
com domínio t\in\mathbb{R} (podemos incluir t=\infty para o ponto restante). Para verificar que esta parametrização realmente dá a circunferência, calculamos
x_{1}(t)-1=2\cdot\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\qquad y_{1}(t)-4=\frac{4t}{1+t^{2}},
(x_{1}(t)-1)^{2}+(y_{1}(t)-4)^{2}=\frac{4(1-t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}}+\frac{16t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{4\bigl((1-t^{2})^{2}+4t^{2}\bigr)}{(1+t^{2})^{2}}.
Agora simplifico o numerador:
(1-t^{2})^{2}+4t^{2}=1-2t^{2}+t^{4}+4t^{2}=1+2t^{2}+t^{4}=(1+t^{2})^{2}.
Logo
(x_{1}(t)-1)^{2}+(y_{1}(t)-4)^{2}=\frac{4(1+t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}}=4.
Assim \gamma_{1}(t) também parametriza a mesma circunferência.

Passo 6

Mostrando que as parametrizações são distintas (isto é, são funções diferentes de t): por exemplo, para t=1,
\gamma_{0}(1)=\bigl(1+2\cos 1,\;4+2\sin 1\bigr)\approx\bigl(1+2\cdot0{,}5403,\;4+2\cdot0{,}8415\bigr)\approx(2{,}0806,\;5{,}6830),
enquanto
\gamma_{1}(1)=\bigl(1+2\cdot\frac{1-1}{1+1},\;4+\frac{4\cdot1}{1+1}\bigr)=\bigl(1,\;6\bigr).
Como (2{,}0806,5{,}6830)\neq(1,6), as funções são diferentes. Observação: ambas descrevem a mesma curva geométrica (a mesma circunferência), mas percorrem os pontos de formas diferentes (diferente dependência em t).

Passo 7

Resumo didático rápido para a prova:
  • Se a questão pede uma parametrização direta de uma circunferência dada pelo centro (a,b) e raio R, lembre-se de usar
x=a+R\cos t,\qquad y=b+R\sin t.
  • Se quiser uma forma racional (útil quando pedir funções racionais ou evitar trigonometria), use a substituição t=\tan(\theta/2) e as fórmulas
\cos\theta=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\qquad \sin\theta=\frac{2t}{1+t^{2}},
depois substitua na parametrização trigonométrica.

Resposta

\gamma_{0}(t)=\bigl(1+2\cos t,\;4+2\sin t\bigr),\quad t\in[0,2\pi)
\gamma_{1}(t)=\displaystyle\left(1+2\cdot\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\;4+\frac{4t}{1+t^{2}}\right),\quad t\in\mathbb{R}

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