Encontre pelo menos duas curvas \gamma_{0}(t)=(x(t), y(t)) e \gamma_{1}(t)=\left(x_{1}(t), y_{1}(t)\right) distintas satisfazendo:
y=\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede que encontremos pelo menos duas curvas paramétricas distintas \gamma_{0}(t)=(x(t),y(t)) e \gamma_{1}(t)=(x_{1}(t),y_{1}(t)) que satisfaçam a relação
y=\sqrt{x}.
Informações relevantes que temos: a raiz quadrada \sqrt{x} é definida (no sentido usual real) apenas para x\ge 0 e seu valor é não negativo. Portanto qualquer parametrização deve garantir x(t)\ge 0 e y(t)\ge 0 e, para todo t do domínio, deve ocorrer y(t)=\sqrt{x(t)}.

Passo 2

Conceito e estratégia (aula rápida e prática): uma curva paramétrica é uma função \gamma(t)=(x(t),y(t)). Para que essa curva satisfaça a equação dada, basta escolher uma função x(t) com x(t)\ge 0 para todo t no domínio e definir
y(t)=\sqrt{x(t)}.
Assim qualquer escolha de x(t)\ge 0 gera uma parametrização válida. Vou mostrar construções simples e intuitivas que você pode usar na prova sem sofrimento.

Passo 3

Primeira parametrização — ideia: usar t como a própria raiz. Escolho t\ge 0 e defino
x(t)=t^{2},\qquad y(t)=t.
Verificação passo a passo: para t\ge 0 temos \sqrt{x(t)}=\sqrt{t^{2}}=t (porque t\ge 0), então
y(t)=t=\sqrt{t^{2}}=\sqrt{x(t)}.
Comentário didático: esta é uma escolha muito comum na prova porque transforma a raiz num polinômio simples; conforme t varia em [0,\infty), x(t) percorre [0,\infty) e y(t) dá exatamente a raiz positiva. Anote que a fórmula é bem fácil de calcular sem calculadora.

Passo 4

Segunda parametrização — ideia: usar t como o próprio x. Escolho t\ge 0 e defino
x_{1}(t)=t,\qquad y_{1}(t)=\sqrt{t}.
Verificação passo a passo: por construção temos diretamente y_{1}(t)=\sqrt{t}=\sqrt{x_{1}(t)}. Comentário didático: esta parametrização é até mais literal — usamos o próprio x como parâmetro. É igualmente válida e muito direta para a prova. Observe que as duas parametrizações são fórmulas diferentes (portanto “distintas” como funções de t); elas representam geometricamente a mesma curva no plano y=\sqrt{x}, mas como parametrizações são diferentes (mesmas imagens, parametrizações diferentes).

Passo 5

Terceira parametrização (opcional, para variar o estilo) — ideia: usar funções trigonométricas que mantenham sinal positivo. Tome t\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e defina
x_{2}(t)=\cos^{2}t,\qquad y_{2}(t)=\cos t.
Verificação passo a passo: para t\in[0,\tfrac{\pi}{2}] temos \cos t\ge 0, então
\sqrt{x_{2}(t)}=\sqrt{\cos^{2}t}=|\cos t|=\cos t=y_{2}(t).
Comentário didático: essa parametrização cobre a parte da curva com 0\le x\le 1. É útil para mostrar que há infinitas parametrizações possíveis: escolha qualquer x(t)\ge 0 e ponha y(t)=\sqrt{x(t)}.

Passo 6

Comparação e observações finais (ajoelhamento amigo): as três curvas que dei são válidas e fáceis de checar em prova. Se a pergunta pedir “duas” basta apresentar as duas primeiras. Se quiser argumentar que são distintas, mostre que as fórmulas para \gamma_{0}(t) e \gamma_{1}(t) não coincidem como funções de t (por exemplo, \gamma_{0}(2)=(4,2) enquanto \gamma_{1}(2)=(2,\sqrt{2})). Para criar outras parametrizações na prova: escolha qualquer função não negativa u(t) e defina (x(t),y(t))=(u(t),\sqrt{u(t)}). Força aí — você já tem a mecânica para construir muitas opções sem dor.

Resposta

\gamma_{0}(t)=(t^{2},\,t),\\ t\ge 0.
\gamma_{1}(t)=(t,\,\sqrt{t}),\\ t\ge 0.
\gamma_{2}(t)=(\cos^{2}t,\,\cos t),\\ t\in[0,\tfrac{\pi}{2}].

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