Encontre pelo menos duas curvas
e
distintas satisfazendo:
Passo 1
O enunciado pede que encontremos pelo menos duas curvas paramétricas distintas
e
que satisfaçam a relação
Informações relevantes que temos: a raiz quadrada
é definida (no sentido usual real) apenas para
e seu valor é não negativo. Portanto qualquer parametrização deve garantir
e
e, para todo
do domínio, deve ocorrer
.
Passo 2
Conceito e estratégia (aula rápida e prática): uma curva paramétrica é uma função
. Para que essa curva satisfaça a equação dada, basta escolher uma função
com
para todo
no domínio e definir
Assim qualquer escolha de
gera uma parametrização válida. Vou mostrar construções simples e intuitivas que você pode usar na prova sem sofrimento.
Passo 3
Primeira parametrização — ideia: usar
como a própria raiz. Escolho
e defino
Verificação passo a passo: para
temos
(porque
), então
Comentário didático: esta é uma escolha muito comum na prova porque transforma a raiz num polinômio simples; conforme
varia em
,
percorre
e
dá exatamente a raiz positiva. Anote que a fórmula é bem fácil de calcular sem calculadora.
Passo 4
Segunda parametrização — ideia: usar
como o próprio
. Escolho
e defino
Verificação passo a passo: por construção temos diretamente
. Comentário didático: esta parametrização é até mais literal — usamos o próprio
como parâmetro. É igualmente válida e muito direta para a prova. Observe que as duas parametrizações são fórmulas diferentes (portanto “distintas” como funções de
); elas representam geometricamente a mesma curva no plano
, mas como parametrizações são diferentes (mesmas imagens, parametrizações diferentes).
Passo 5
Terceira parametrização (opcional, para variar o estilo) — ideia: usar funções trigonométricas que mantenham sinal positivo. Tome
e defina
Verificação passo a passo: para
temos
, então
Comentário didático: essa parametrização cobre a parte da curva com
. É útil para mostrar que há infinitas parametrizações possíveis: escolha qualquer
e ponha
.
Passo 6
Comparação e observações finais (ajoelhamento amigo): as três curvas que dei são válidas e fáceis de checar em prova. Se a pergunta pedir “duas” basta apresentar as duas primeiras. Se quiser argumentar que são distintas, mostre que as fórmulas para
e
não coincidem como funções de
(por exemplo,
enquanto
). Para criar outras parametrizações na prova: escolha qualquer função não negativa
e defina
. Força aí — você já tem a mecânica para construir muitas opções sem dor.