Encontre a solução geral do sistema de equações dado.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(
\right) \mathbf{x}+\binom{1}{-1} e^{t}
\mathbf{x}^{\prime}=\left(
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá o sistema linear não-homogêneo com coeficientes constantes
- O que se pede: encontrar a solução geral
do sistema (ou seja, todas as soluções, com constantes arbitrárias).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A matriz do sistema é
. - O termo não-homogêneo é
com . - A solução geral será a soma da solução geral do sistema homogêneo
e de uma solução particular do sistema completo.]
Passo 2
Resolver o sistema homogêneo
.
- Encontrar os autovalores de
. Calcula-se o polinômio característico :
Desenvolvendo,
portanto
Logo os autovalores são
e
(distintos e reais).
- Para
, encontra-se o autovetor resolvendo :
Da primeira equação
, então podemos escolher
.
- Para
, resolve-se :
Da equação
vem
. Podemos escolher
.
- Assim a solução geral do homogêneo é combinação linear das soluções exponenciais:
onde
são constantes arbitrárias.
Comentário rápido (didático): quando a matriz tem autovalores distintos, cada autovalor dá uma solução do tipo
, onde
é um autovetor associado. A combinação linear dessas soluções forma toda a solução do homogêneo.]
Passo 3
Escolher um método para encontrar uma solução particular do sistema não-homogêneo.
- O termo de forçamento é
com e a base exponencial é . - Observação importante (ressonância):
corresponde ao autovalor da matriz . Isso significa que a tentativa direta com constante falharia porque é singular. Nesses casos, para o método dos coeficientes indeterminados convém multiplicar por um termo polinomial simples: tentar uma solução do tipo
onde
são vetores constantes a determinar. Vou explicar por que esse formato: se a exponencial da forçante coincide com um autovalor simples, multiplicamos por
para obter um ansatz que não esteja na solução do homogêneo; o termo adicional
é incluído para garantir possibilidade de ajustar termos constantes ao comparar coeficientes.
Passo 4
Determinar
e
no ansatz
.
- Calcula-se a derivada:
- Substitui-se na equação
:
Cancelando
(sempre positivo), obtemos a identidade vetorial
- Igualando os termos em
e os termos constantes separadamente, obtemos dois sistemas:
- coeficientes de
: , ou seja
- termos constantes:
, ou seja
- Resolver
. Já resolvemos esse núcleo no Passo 2: os vetores próprios associados a são múltiplos de . Então escrevemos
com
escalar a determinar.
- Substituir em
. Primeiro calcule :
E a direita
.
Então o sistema para
é
Note que a segunda linha é
vezes a primeira, então o sistema é compatível apenas se a segunda componente do vetor do lado direito for igual a
vezes a primeira componente. Isso impõe a condição de consistência:
Resolvendo:
Portanto
.
- Com
, o vetor do lado direito fica . Agora resolve-se a equação única independente (escolhemos a primeira linha):
Isto dá
. Há infinidade de soluções para
(grau de liberdade 1), pois
tem posto 1. Para escolher uma solução particular simples, tomamos
, o que dá
. Assim uma escolha conveniente é
(Dica: qualquer
que satisfaça a relação acima serve; mudar
apenas corresponde a acrescentar uma solução do homogêneo, que já está contemplada por
.)]
Passo 5
Escrever a solução particular encontrada e verificar mentalmente que funciona.
Com
e
, temos
(Fazendo uma verificação rápida: computando
e
obtém-se os mesmos vetores, como deve ser.)]
Passo 6
Combinar homogênea e particular para obter a solução geral.
A solução geral do sistema é
onde
são constantes arbitrárias reais.]