Mostre que o polinómio p=x^{3}+210 x^{2}+70 x+60 é irredutível em Q[x].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o polinómio
p(x)=x^{3}+210x^{2}+70x+60
é irreducível em \mathbb{Q}[x].
Informações dadas e objetivo:
  • O polinómio tem coeficientes inteiros.
  • Queremos provar que não é possível escrevê‑lo como produto de dois polinómios não constantes com coeficientes racionais (equivalente: inteiros, por Gauss).
  • Vou procurar um critério que permita concluir irreducibilidade sem testar todas as possíveis factorações explícitas.

Passo 2

Apresento o Critério de Eisenstein (versão usada aqui) e explico-o de forma didática.
Enunciado do critério (versão curta):
Se existe um primo p tal que
  1. p não divide o coeficiente líder (no nosso caso o coeficiente líder é 1),
  2. p divide todos os outros coeficientes do polinómio, e
  3. p^{2} não divide o termo independente (constante),
    então o polinómio é irreducível em \mathbb{Q}[x].
O que isto significa em palavras simples:
  • Escolhe‑se um primo p.
  • Todos os coeficientes excepto o do termo de maior grau devem ser múltiplos de p.
  • Mas o termo independente não pode ser múltiplo de p^{2} (ou seja, é múltiplo de p apenas “uma vez”).
  • Se isso acontecer, o critério garante que o polinómio não pode ser factorado em polinómios não constantes com coeficientes racionais.
Esboço da justificativa (intuição):
  • Reduzindo os coeficientes módulo p obtemos que o polinómio fica congruente a x^{n} (onde n é o grau), porque todos os termos de grau menor desaparecem modulo p.
  • Se houvesse uma factorização não trivial sobre \mathbb{Z} (ou \mathbb{Q}), ao reduzir modulo p as duas factores teriam de ser potências de x, o que implica que ambos teriam termo constante congruente a 0 modulo p, ou seja, ambos teriam constante múltipla de p.
  • Isso faria com que o termo independente do produto (o produto das constantes) fosse múltiplo de p^{2}, contrariando a condição p^{2}\nmid termo independente. Logo, não pode haver factorização não trivial.
Nota técnica útil: como os coeficientes do nosso polinómio são inteiros e o polinómio é primitivo (o gcd dos coeficientes é 1), irreducibilidade em \mathbb{Z}[x] implica irreducibilidade em \mathbb{Q}[x] (Lema de Gauss). O critério de Eisenstein é normalmente aplicado exatamente em polinómios com coeficientes inteiros.

Passo 3

Aplicação do critério ao nosso polinómio.
Vou tentar encontrar um primo p que satisfaça as hipóteses. Observemos os coeficientes:
  • coeficiente líder: 1,
  • coeficiente de x^{2}: 210,
  • coeficiente de x: 70,
  • termo independente: 60.
Tente p=5 (primo frequentemente útil porque aparece em muitos fatores de números terminados em 0 ou 5).
Verificações:
  • 5 não divide o coeficiente líder 1. Portanto a condição 1 está satisfeita.
  • 5 divide 210 porque 210=5\cdot42. Em notação: 210=5\cdot42.
  • 5 divide 70 porque 70=5\cdot14: 70=5\cdot14.
  • 5 divide 60 porque 60=5\cdot12: 60=5\cdot12.
Logo, 5 divide todos os coeficientes excepto o líder.
Agora verificar a condição 3: 5^{2}=25 não deve dividir o termo independente 60. De facto,
\frac{60}{25}=2{,}4,
ou seja, 25\nmid 60. Portanto 5^{2} não divide 60.
Todas as hipóteses do critério de Eisenstein com p=5 estão verificadas.

Passo 4

Conclusão a partir do critério e comentário final (didático).
Pelo critério de Eisenstein com p=5, o polinómio p(x)=x^{3}+210x^{2}+70x+60 é irreducível em \mathbb{Q}[x].
Comentário sobre por que esta escolha foi conveniente:
  • Poder-se-ia ter tentado o Teorema da Raiz Racional (testar divisores de 60), mas isso exige verificar várias possibilidades. Eisentein com p=5 dá uma prova rápida e elegante.
  • O uso do Lema de Gauss justifica passar de irreducibilidade em \mathbb{Z}[x] (o que o critério garante) para irreducibilidade em \mathbb{Q}[x].

Resposta

O polinómio x^{3}+210x^{2}+70x+60 é irreducível em \mathbb{Q}[x].

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