Mostre que o polinómio
é irredutível em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o polinómio
é irreducível em
.
Informações dadas e objetivo:
- O polinómio tem coeficientes inteiros.
- Queremos provar que não é possível escrevê‑lo como produto de dois polinómios não constantes com coeficientes racionais (equivalente: inteiros, por Gauss).
- Vou procurar um critério que permita concluir irreducibilidade sem testar todas as possíveis factorações explícitas.
Passo 2
Apresento o Critério de Eisenstein (versão usada aqui) e explico-o de forma didática.
Enunciado do critério (versão curta):
Se existe um primo tal que
Se existe um primo
-
não divide o coeficiente líder (no nosso caso o coeficiente líder é ), -
divide todos os outros coeficientes do polinómio, e -
não divide o termo independente (constante),
então o polinómio é irreducível em.
O que isto significa em palavras simples:
- Escolhe‑se um primo
. - Todos os coeficientes excepto o do termo de maior grau devem ser múltiplos de
. - Mas o termo independente não pode ser múltiplo de
(ou seja, é múltiplo de apenas “uma vez”). - Se isso acontecer, o critério garante que o polinómio não pode ser factorado em polinómios não constantes com coeficientes racionais.
Esboço da justificativa (intuição):
- Reduzindo os coeficientes módulo
obtemos que o polinómio fica congruente a (onde é o grau), porque todos os termos de grau menor desaparecem modulo . - Se houvesse uma factorização não trivial sobre
(ou ), ao reduzir modulo as duas factores teriam de ser potências de , o que implica que ambos teriam termo constante congruente a modulo , ou seja, ambos teriam constante múltipla de . - Isso faria com que o termo independente do produto (o produto das constantes) fosse múltiplo de
, contrariando a condição termo independente. Logo, não pode haver factorização não trivial.
Nota técnica útil: como os coeficientes do nosso polinómio são inteiros e o polinómio é primitivo (o gcd dos coeficientes é
), irreducibilidade em
implica irreducibilidade em
(Lema de Gauss). O critério de Eisenstein é normalmente aplicado exatamente em polinómios com coeficientes inteiros.
Passo 3
Aplicação do critério ao nosso polinómio.
Vou tentar encontrar um primo
que satisfaça as hipóteses. Observemos os coeficientes:
- coeficiente líder:
, - coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - termo independente:
.
Tente
(primo frequentemente útil porque aparece em muitos fatores de números terminados em
ou
).
Verificações:
-
não divide o coeficiente líder . Portanto a condição 1 está satisfeita. -
divide porque . Em notação: -
divide porque : -
divide porque :
Logo,
divide todos os coeficientes excepto o líder.
Agora verificar a condição 3:
não deve dividir o termo independente
. De facto,
ou seja,
. Portanto
não divide
.
Todas as hipóteses do critério de Eisenstein com
estão verificadas.
Passo 4
Conclusão a partir do critério e comentário final (didático).
Pelo critério de Eisenstein com
, o polinómio
é irreducível em
.
Comentário sobre por que esta escolha foi conveniente:
- Poder-se-ia ter tentado o Teorema da Raiz Racional (testar divisores de
), mas isso exige verificar várias possibilidades. Eisentein com dá uma prova rápida e elegante. - O uso do Lema de Gauss justifica passar de irreducibilidade em
(o que o critério garante) para irreducibilidade em .
Resposta
O polinómio
é irreducível em
.