Encontre o módulo e o argumento:
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre o módulo e o argumento do número complexo obtido pela expressão
Informações dadas que vamos usar:
As perguntas explícitas são:
- Calcular o módulo do número complexo resultante.
- Calcular o argumento do número complexo resultante.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar os termos óbvios no enunciado. Note que na expressão do denominador há
; somando os termos imaginários temos
. Portanto a expressão vira
Passo 3
Agora calculamos o produto do numerador
. Vou multiplicar termo a termo (distributiva). Lembre que
.
Calcule cada parcela:
Como
, temos
. Somando:
Logo o numerador é
.
Passo 4
Agora calculamos o produto do denominador
do mesmo jeito:
Parcela a parcela:
Com
temos
. Somando:
Portanto o denominador é
.
Passo 5
Agora a expressão ficou
Para dividir dois números complexos é prático multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para tornar o denominador um número real. O conjugado de
é
. Multiplicamos ambos os lados:
Passo 6
Calculemos o numerador
termo a termo:
Isso dá
Como
,
. Somando as partes reais e imaginárias:
O denominador é produto com conjugado, que sempre resulta em soma de quadrados:
Então a fração simplifica para
Passo 7
Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador pelo máximo comum divisor
:
Assim o número complexo final é
Também podemos escrevê-lo como
Passo 8
Vamos calcular o módulo. Para um número complexo
o módulo é dado por
onde
é a parte real e
a parte imaginária. Aqui
e
. Então
Calculemos
e
:
logo
Observe que
. Assim
Portanto o módulo em forma simplificada é
Se você preferir uma aproximação numérica,
Passo 9
Agora o argumento. Para um número complexo
com
(primeiro ou quarto quadrante), o argumento principal
é dado por
Aqui
e
, logo estamos no primeiro quadrante e podemos usar diretamente
Portanto o argumento exato é
Aproximando numericamente,