Encontre o módulo e o argumento:
\frac{(4-3 i)(1+4 i)}{(1-2 i)(2+3 i+4 i)}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o módulo e o argumento do número complexo obtido pela expressão
\frac{(4-3 i)(1+4 i)}{(1-2 i)(2+3 i+4 i)}.
Informações dadas que vamos usar:
(4-3 i),\quad (1+4 i),\quad (1-2 i),\quad (2+3 i+4 i).
As perguntas explícitas são:
  • Calcular o módulo do número complexo resultante.
  • Calcular o argumento do número complexo resultante.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar os termos óbvios no enunciado. Note que na expressão do denominador há 2+3 i+4 i; somando os termos imaginários temos 3 i+4 i=7 i. Portanto a expressão vira
\frac{(4-3 i)(1+4 i)}{(1-2 i)(2+7 i)}.

Passo 3

Agora calculamos o produto do numerador (4-3 i)(1+4 i). Vou multiplicar termo a termo (distributiva). Lembre que i^2=-1.
(4-3 i)(1+4 i)=4\cdot 1 + 4\cdot 4 i -3 i\cdot 1 -3 i\cdot 4 i.
Calcule cada parcela:
4\cdot 1 = 4,\quad 4\cdot 4 i = 16 i,\quad -3 i\cdot 1 = -3 i,\quad -3 i\cdot 4 i = -12 i^2.
Como i^2=-1, temos -12 i^2 = -12(-1)=12. Somando:
4 + 16 i -3 i + 12 = (4+12) + (16 i -3 i) = 16 + 13 i.
Logo o numerador é (4-3 i)(1+4 i)=16+13 i.

Passo 4

Agora calculamos o produto do denominador (1-2 i)(2+7 i) do mesmo jeito:
(1-2 i)(2+7 i)=1\cdot 2 + 1\cdot 7 i -2 i\cdot 2 -2 i\cdot 7 i.
Parcela a parcela:
1\cdot 2 = 2,\quad 1\cdot 7 i = 7 i,\quad -2 i\cdot 2 = -4 i,\quad -2 i\cdot 7 i = -14 i^2.
Com i^2=-1 temos -14 i^2 = 14. Somando:
2 + 7 i -4 i + 14 = (2+14) + (7 i -4 i) = 16 + 3 i.
Portanto o denominador é (1-2 i)(2+7 i)=16+3 i.

Passo 5

Agora a expressão ficou
\frac{16+13 i}{16+3 i}.
Para dividir dois números complexos é prático multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para tornar o denominador um número real. O conjugado de 16+3 i é 16-3 i. Multiplicamos ambos os lados:
\frac{16+13 i}{16+3 i} \cdot \frac{16-3 i}{16-3 i} = \frac{(16+13 i)(16-3 i)}{(16+3 i)(16-3 i)}.

Passo 6

Calculemos o numerador (16+13 i)(16-3 i) termo a termo:
16\cdot 16 + 16\cdot(-3 i) + 13 i\cdot 16 + 13 i\cdot(-3 i).
Isso dá
256 -48 i +208 i -39 i^2.
Como i^2=-1, -39 i^2 = 39. Somando as partes reais e imaginárias:
256 + 39 + (-48 i + 208 i) = 295 + 160 i.
O denominador é produto com conjugado, que sempre resulta em soma de quadrados:
(16+3 i)(16-3 i) = 16^2 + 3^2 = 256 + 9 = 265.
Então a fração simplifica para
\frac{295+160 i}{265}.

Passo 7

Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador pelo máximo comum divisor 5:
\frac{295}{265}=\frac{59}{53},\qquad \frac{160}{265}=\frac{32}{53}.
Assim o número complexo final é
z = \frac{59}{53} + \frac{32}{53}\,i.
Também podemos escrevê-lo como
z = \frac{1}{53}(59+32 i).

Passo 8

Vamos calcular o módulo. Para um número complexo \,z=a+bi\, o módulo é dado por
|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}},
onde a é a parte real e b a parte imaginária. Aqui a=\dfrac{59}{53} e b=\dfrac{32}{53}. Então
|z|=\sqrt{\left(\frac{59}{53}\right)^{2}+\left(\frac{32}{53}\right)^{2}}=\frac{1}{53}\sqrt{59^{2}+32^{2}}.
Calculemos 59^{2} e 32^{2}:
59^{2}=3481,\qquad 32^{2}=1024,
logo
59^{2}+32^{2}=3481+1024=4505.
Observe que 4505=53\cdot 85. Assim
|z|=\frac{1}{53}\sqrt{4505}=\frac{1}{53}\sqrt{53\cdot 85}=\frac{\sqrt{53}\sqrt{85}}{53}=\sqrt{\frac{85}{53}}.
Portanto o módulo em forma simplificada é
|z|=\sqrt{\frac{85}{53}}.
Se você preferir uma aproximação numérica,
|z|\approx 1,26645.

Passo 9

Agora o argumento. Para um número complexo \,z=a+bi\, com a>0 (primeiro ou quarto quadrante), o argumento principal \theta é dado por
\theta=\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right).
Aqui a=\dfrac{59}{53}>0 e b=\dfrac{32}{53}>0, logo estamos no primeiro quadrante e podemos usar diretamente
\theta=\arctan\!\left(\frac{32/53}{59/53}\right)=\arctan\!\left(\frac{32}{59}\right).
Portanto o argumento exato é
\arg(z)=\arctan\!\left(\frac{32}{59}\right).
Aproximando numericamente,
\arg(z)\approx 0,4969\\ \text{rad}\approx 28,48^\circ.

Resposta

|z|=\sqrt{\dfrac{85}{53}}
\arg(z)=\arctan\!\left(\dfrac{32}{59}\right)

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