Encontre o momento de inércia de um quadrado formado por barras finas para rotações com relação ao eixo que passa pelo centro geométrico da figura e: (a) é paralelo a um dos lados; (b) é perpendicular ao plano que contém o quadrado. As respostas devem depender apenas da massa total do objeto M e do lado do quadrado L.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia de um quadrado feito de barras finas. O enunciado pede para encontrarmos o momento de inércia em duas situações diferentes, usando apenas a massa total e o lado do quadrado . Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calcular para objetos compostos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia ( ) é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.

Passo 3

Como o quadrado é formado por barras finas, podemos considerar cada lado do quadrado como uma barra individual. Temos 4 barras no total, cada uma com massa e comprimento .

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia para cada barra em relação ao eixo que passa pelo centro do quadrado. Usamos a fórmula para o momento de inércia de uma barra em relação a seu centro:
Ibarra = 112 m L^2
Onde .

Passo 5

Mas, precisamos ajustar esse momento de inércia para o eixo do centro do quadrado. Para isso, usamos o Teorema de Steiner (ou Teorema dos Eixos Paralelos):
I = Ibarra + m d^2
Onde é a distância do centro da barra até o eixo do quadrado. Como a barra está no lado do quadrado, .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
I = 112 (M4) L^2 + (M4) (L2)^2
I = M L^248 + M L^216
I = M L^248 + 3M L^248 = 4M L^248 = M L^212

Passo 7

Como temos 4 barras, multiplicamos o momento de inércia de uma barra por 4:
Itotal = 4 times M L^212 = M L^23

Resposta

O momento de inércia do quadrado em relação ao eixo que passa pelo centro e é paralelo a um dos lados é:
Ia = M L^23
E em relação ao eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao plano do quadrado é:
Ib = M L^26

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