Encontre o momento de inércia de um quadrado formado por barras finas para rotações com relação ao eixo que passa pelo centro geométrico da figura e: (a) é paralelo a um dos lados; (b) é perpendicular ao plano que contém o quadrado. As respostas devem depender apenas da massa total do objeto
e do lado do quadrado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia de um quadrado feito de barras finas. O enunciado pede para encontrarmos o momento de inércia em duas situações diferentes, usando apenas a massa total
e o lado do quadrado
. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calcular para objetos compostos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia (
) é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.
Passo 3
Como o quadrado é formado por barras finas, podemos considerar cada lado do quadrado como uma barra individual. Temos 4 barras no total, cada uma com massa
e comprimento
.
Passo 4
Vamos calcular o momento de inércia para cada barra em relação ao eixo que passa pelo centro do quadrado. Usamos a fórmula para o momento de inércia de uma barra em relação a seu centro:
Onde
.
Passo 5
Mas, precisamos ajustar esse momento de inércia para o eixo do centro do quadrado. Para isso, usamos o Teorema de Steiner (ou Teorema dos Eixos Paralelos):
Onde
é a distância do centro da barra até o eixo do quadrado. Como a barra está no lado do quadrado,
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Como temos 4 barras, multiplicamos o momento de inércia de uma barra por 4:
Resposta
O momento de inércia do quadrado em relação ao eixo que passa pelo centro e é paralelo a um dos lados é:
E em relação ao eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao plano do quadrado é: