Seja
Encontre o maior conjunto onde
é contínua. Justifique.
Encontre o maior conjunto onde
Passo 1
O enunciado define a função por partes
e pede o maior conjunto onde ela é contínua. O conteúdo aqui envolve continuidade de funções racionais em várias variáveis e limites em
Passo 2
Para
temos que
é quociente de polinômios em
com denominador
. Como polinômios são contínuos e o denominador não se anula,
é contínua em todo ponto
.
Passo 3
Falta verificar a continuidade em
. Precisamos ver se
Usando coordenadas polares
Em polares:
$$
\frac{5xy2}{x2+y^2}
=\frac{5,(r\cos\theta),(r\sin\theta)2}{r2}
=5r\cos\theta,\sin^2\theta.
=\frac{5,(r\cos\theta),(r\sin\theta)2}{r2}
=5r\cos\theta,\sin^2\theta.
$$
Como e
implica esse termo
, o limite existe e é zero. O valor da função em
é
, igual ao limite que acabamos de calcular. Logo,
é contínua também em
. Portanto,
é contínua em todo
.
Como