Seja h(x, y)=cc5 x y^2x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
Encontre o maior conjunto onde h(x, y) é contínua. Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
h(x,y)=5xy^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
e pede o maior conjunto onde ela é contínua. O conteúdo aqui envolve continuidade de funções racionais em várias variáveis e limites em (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos que h(x,y) é quociente de polinômios em x,y com denominador x^2+y^2neq0. Como polinômios são contínuos e o denominador não se anula, h é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Falta verificar a continuidade em (0,0). Precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0)5xy^2x^2+y^2=h(0,0)=0
Usando coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta:
Em polares:
$$
\frac{5xy2}{x2+y^2}
=\frac{5,(r\cos\theta),(r\sin\theta)2}{r2}
=5r\cos\theta,\sin^2\theta.
$$
Como 5xy^2x^2+y^2 =5,(rcostheta),(rsintheta)^2r^2 =5rcostheta,sin^2theta e |5rcosthetasin^2theta|<=5r implica esse termo rto0, o limite existe e é zero. O valor da função em to0 é (0,0), igual ao limite que acabamos de calcular. Logo, 0 é contínua também em h. Portanto, (0,0) é contínua em todo h.

Resposta

R^2

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