Encontre a mudança de base E=e1, e2, e3 para a base F=f1, f2, f3 se f1= -3 e1+e2+e3, f2=e1-2 e2+e3, f3=e1+2 e2. Seja v=-4 f1+f2-f3. Encontre v em função de e1, e2 e e3.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de um espaço vetorial: a base original E=vec e1,vec e2,vec e3 e a base F=vec f1,vec f2,vec f3, com as relações
vec f1=-3vec e1+vec e2+vec e3, vec f2=vec e1-2vec e2+vec e3, vec f3=vec e1+2vec e2
Precisamos expressar o vetor
vec v=-4vec f1+vec f2-vec f3
na base E. O conteúdo aqui é simples: substituir as combinações lineares de vec fi em termos de vec ej e agrupar coeficientes.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a definição de vec v em função das vec fi:
vec v=-4vec f1+vec f2-vec f3

Passo 3

Substituímos cada vec fi pelos seus componentes na base E:
vec v=-4l(-3vec e1+vec e2+vec e3r) +l(vec e1-2vec e2+vec e3r) -l(vec e1+2vec e2r)

Passo 4

Expandindo e agrupando termos em vec e1, vec e2 e vec e3:
-4vec f1=12vec e1-4vec e2-4vec e3, +vec f2=+vec e1-2vec e2+vec e3, -vec f3=-vec e1-2vec e2
Somando coeficientes em cada direção:
coeficiente de vec e1: 12+1-1=12,
coeficiente de vec e2: -4-2-2=-8,
coeficiente de vec e3: -4+1+0=-3.

Resposta

vec v=12,vec e1-8,vec e2-3,vec e3

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