Sabe-se que dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U cap W), onde U e W são subespaços vetoriais de um espaço vetorial V. Suponha U e W são subespaços de V tais que dim(U)=4, dim(W)=5 e dim V=7. Encontre as possíveis de dimensões de dim(U cap W).

Passo 1

O enunciado diz que U e W são subespaços de V com
dim(U)=4, dim(W)=5 e dim(V)=7, e que vale a relação
dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(Ucap W)
Queremos encontrar todos os valores possíveis de dim(Ucap W).

Passo 2

Como U+W é subespaço de V, temos
dim(U+W)<= dim(V)=7
Substituindo na fórmula da soma de dimensões,
dim(U)+dim(W)-dim(Ucap W)<=7 Longrightarrow 4+5-dim(Ucap W)<=7 Longrightarrow dim(Ucap W)>=2

Passo 3

Por outro lado, qualquer interseção satisfaz
dim(Ucap W)<= minl(dim(U),dim(W)r)=min(4,5)=4

Passo 4

Como dim(Ucap W) é um inteiro entre 2 e 4, os únicos valores possíveis são
2,;3;ou;4

Resposta

Os possíveis valores de dim(Ucap W) são 2, 3 ou 4.

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