Suponha que
e
sejam possíveis bidimensionais de
. Mostre que a soma de
e
não pode ser direta.
Passo 1
O enunciado afirma que
e
são subespaços de dimensão 2 em
e pede para mostrar que a soma
não é direta. Isso envolve entender o que é soma direta de subespaços e usar a fórmula de dimensões para soma e interseção de subespaços.
Passo 2
Lembrando que, para quaisquer subespaços
e
de um espaço vetorial, vale a fórmula de Grassmann:
Além disso, sabemos que
é um subespaço de
, logo
Passo 3
Como
e
, a fórmula de Grassmann dá
Por outro lado,
. Então
Passo 4
O fato de
significa que
contém vetores não nulos. Em particular,
.
Passo 5
Uma soma
é direta exatamente quando
. Aqui encontramos
, portanto a soma não é direta.
Resposta
A soma
não pode ser direta pois
, isto é,
.