Suponha que U e W sejam possíveis bidimensionais de R^3. Mostre que a soma de U e W não pode ser direta.

Passo 1

O enunciado afirma que U e W são subespaços de dimensão 2 em R^3 e pede para mostrar que a soma U+W não é direta. Isso envolve entender o que é soma direta de subespaços e usar a fórmula de dimensões para soma e interseção de subespaços.

Passo 2

Lembrando que, para quaisquer subespaços U e W de um espaço vetorial, vale a fórmula de Grassmann:
dim(U + W) ;=;dim(U)+dim(W)-dim(Ucap W)
Além disso, sabemos que U+W é um subespaço de R^3, logo
dim(U+W)<=dim(R^3)=3

Passo 3

Como dim(U)=2 e dim(W)=2, a fórmula de Grassmann dá
dim(U+W)=2+2-dim(Ucap W)=4-dim(Ucap W)
Por outro lado, dim(U+W)<=3. Então
4-dim(Ucap W)<=3 Longrightarrow dim(Ucap W)>=1

Passo 4

O fato de dim(Ucap W)>=1 significa que Ucap W contém vetores não nulos. Em particular, Ucap Wneq0.

Passo 5

Uma soma U+W é direta exatamente quando Ucap W=0. Aqui encontramos Ucap Wneq0, portanto a soma não é direta.

Resposta

A soma U+W não pode ser direta pois dim(Ucap W)>=1, isto é, Ucap Wneq0.

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