Encontre uma mudança de variável que transforme a equação
x e^2 y d yd x+e^2 y=ln xx
em uma equação linear e depois resolva-a.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x e^2y,dydx+e^2y=ln xx
que não é linear em y, mas lembra uma equação de Bernoulli em e^2y. Para torná-la linear, vamos usar a mudança de variável
u = e^2y

Passo 2

Para u=e^2y temos
dudx = 2e^2y,dydx = 2u,dydx,
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dydx=12u,dudx
Na equação original substituímos e^2y=u e dydx=12ududx:
x,ucdot12ududx+u=ln xx Longrightarrow x2dudx+u=ln xx
Multiplicando tudo por 2,
xdudx+2u=2ln xx

Passo 3

Colocando na forma padrão dividindo por x,
dudx+2x,u=2ln xx^2
O fator integrante é
mu(x)=exp!gl(integral2xdxgr)=x^2
Multiplicando a equação por x^2 obtemos
ddxl(x^2ur)=2ln x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2,u=2integralln x,dx+C =2l(xln x - xr)+C
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u=2xln x-2x+Cx^2

Passo 5

Voltando a y com u=e^2y,
e^2y =2xln x-2x+Cx^2,
então
y=12ln!l(2xln x-2x+Cx^2r)

Resposta

y(x)=12ln!l(2xln x-2x+Cx^2r),
onde C é a constante de integração.

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