Resolva as equações diferenciais abaixo através de uma mudança de variável conveniente.
(b)
. Sugestão:
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
usando a mudança de variável sugerida
Vamos verificar que, após essa troca, a equação torna-se separável.
Passo 2
Definimos
Diferenciando, obtemos
Também notamos que
Substituindo em
, vem
Passo 3
Fatorando
e agrupando termos em
e
, fica
Logo é separável:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Portanto
Passo 5
Voltando a
y e
x , lembrando que
u = y,e^x , escrevemos
Como
ln|y,e^x| = ln|y| + x , simplifica-se para
onde
C' é constante arbitrária.
Resposta
A solução geral, de forma implícita, é