Resolva as equações diferenciais abaixo através de uma mudança de variável conveniente.
(b) y d x+(1+y^2 e^2 x) d y=0. Sugestão: u=y e^x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y,dx + l(1 + y^2e^2xr),dy = 0
usando a mudança de variável sugerida
u = y,e^x
Vamos verificar que, após essa troca, a equação torna-se separável.

Passo 2

Definimos
u = y,e^x Longrightarrow y = u,e^-x
Diferenciando, obtemos
dy = e^-x,du ;-; u,e^-x,dx
Também notamos que
y^2e^2x = l(u,e^-xr)^2e^2x = u^2
Substituindo em y,dx + (1+y^2e^2x),dy = 0, vem
u,e^-xdx + l(1+u^2r)l(e^-xdu - u,e^-xdxr)=0

Passo 3

Fatorando e^-x e agrupando termos em dx e du, fica
e^-xl[u,dx + (1+u^2),du - u(1+u^2),dxr]=0 ;Longrightarrow; (1+u^2),du ;=; u^3,dx
Logo é separável:
dx = 1+u^2u^3,du

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dx = integrall(u^-3 + u^-1r),du = integral u^-3,du + integral u^-1,du = -12u^2 + lnl|ur| + C
Portanto
x = -12u^2 + lnl|ur| + C

Passo 5

Voltando a y e x, lembrando que u = y,e^x, escrevemos
x + 12u^2 - lnl|ur| = C ;Longrightarrow; x + 12y^2e^2x - lnl|y,e^xr| = C
Como ln|y,e^x| = ln|y| + x, simplifica-se para
lnl|yr| ;-;e^-2x2y^2 = C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
lnl|yr| ;-;e^-2x2,y^2 = C

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