Q 36 Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
integral 1raiz(4+x^2)^5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1raizl(4+x^2r)^5,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é lidar com integrais do tipo raiza^2+x^2, que resolvemos por x=atantheta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2tantheta, dx = 2sec^2theta,dtheta, raiz4+x^2 = raiz4+4tan^2theta = 2sectheta

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral 1(4+x^2)^5/2,dx = integral 1l(2secthetar)^5;l(2sec^2theta,dthetar) = integral 2sec^2theta32sec^5theta,dtheta = 116integral sec^-3theta,dtheta = 116integral cos^3theta,dtheta

Passo 4

Para integrar integral cos^3theta,dtheta, escrevemos
cos^3theta = (1-sin^2theta)costheta
e usamos a substituição u=sintheta, du=costheta,dtheta. Assim
integral cos^3theta,dtheta = integral (1-u^2),du = u - u^33 + C = sintheta - sin^3theta3 + C

Passo 5

Voltando a x:
sintheta = xraiz4+x^2, sin^3theta = x^3(4+x^2)^3/2
Então o resultado em theta multiplica 1/16:
116l(sintheta - tfracsin^3theta3r) = 116xraiz4+x^2 - 148x^3(4+x^2)^3/2 + C
Reunindo numa só fração obtemos
x(x^2+6)24,(4+x^2)^3/2 + C

Resposta

x,(x^2+6)24,(4+x^2)^3/2 + C

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