Encontre
sabendo que
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
tal que
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão cuja limite é pedida é
. - Vamos avaliar o numerador e o denominador em
: - Portanto o limite tem a forma indeterminada
, o que indica que precisamos aplicar algum método para tratar indeterminações (por exemplo, L’Hôpital ou fatorações/Taylor).
Passo 2
Motivação do método: como temos uma indeterminação do tipo
e ambas as funções envolvidas são diferenciáveis numa vizinhança de
(para
a função
é diferenciável mesmo para
real), é natural aplicar a Regra de L’Hôpital.
Breve explicação da Regra de L’Hôpital (versão usada): se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), e
,
, e se
existe finito, então
Condição importante:
não pode ser zero na vizinhança de
de modo a impedir a aplicação; ao final verificaremos que
.
Também precisamos usar a fórmula de derivada de potência para expoente real: para
e
,
Rápida justificativa dessa fórmula:
, então por cadeia
.
Passo 3
Definimos
Calculamos as derivadas usando a regra anterior:
Avaliamos em
:
Observe que
, então não há problema em aplicar L’Hôpital e usar o quociente das derivadas em
.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital e avaliando em
obtemos
Pelo enunciado esse limite deve ser igual a
. Então resolvemos a equação
Multiplicando ambos os lados por
:
Assim
Verificação rápida das condições:
(conforme pedido) e
, então a aplicação de L’Hôpital foi válida.