Encontre n>0 sabendo que \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{n}-x^{4}}{x^{9}-x^{3}}=5.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar n>0 tal que
\lim_{x\to 1}\frac{x^{n}-x^{4}}{x^{9}-x^{3}}=5.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão cuja limite é pedida é \dfrac{x^{n}-x^{4}}{x^{9}-x^{3}}.
  • Vamos avaliar o numerador e o denominador em x=1: 1^{n}-1^{4}=0,\qquad 1^{9}-1^{3}=0.
  • Portanto o limite tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}, o que indica que precisamos aplicar algum método para tratar indeterminações (por exemplo, L’Hôpital ou fatorações/Taylor).

Passo 2

Motivação do método: como temos uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0} e ambas as funções envolvidas são diferenciáveis numa vizinhança de x=1 (para x>0 a função x^{n} é diferenciável mesmo para n real), é natural aplicar a Regra de L’Hôpital.
Breve explicação da Regra de L’Hôpital (versão usada): se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), e \lim_{x\to a}f(x)=0, \lim_{x\to a}g(x)=0, e se \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe finito, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Condição importante: g'(x) não pode ser zero na vizinhança de a de modo a impedir a aplicação; ao final verificaremos que g'(1)\neq 0.
Também precisamos usar a fórmula de derivada de potência para expoente real: para x>0 e a\in\mathbb{R},
\frac{d}{dx}x^{a}=a\,x^{a-1}.
Rápida justificativa dessa fórmula: x^{a}=e^{a\ln x}, então por cadeia \frac{d}{dx}x^{a}=e^{a\ln x}\cdot\frac{a}{x}=a x^{a-1}.

Passo 3

Definimos
f(x)=x^{n}-x^{4},\qquad g(x)=x^{9}-x^{3}.
Calculamos as derivadas usando a regra anterior:
f'(x)=n\,x^{\,n-1}-4\,x^{3}, \qquad g'(x)=9\,x^{8}-3\,x^{2}.
Avaliamos em x=1:
f'(1)=n-4, \qquad g'(1)=9-3=6.
Observe que g'(1)=6\neq 0, então não há problema em aplicar L’Hôpital e usar o quociente das derivadas em x=1.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital e avaliando em x=1 obtemos
\lim_{x\to 1}\frac{x^{n}-x^{4}}{x^{9}-x^{3}} = \frac{f'(1)}{g'(1)} = \frac{n-4}{6}.
Pelo enunciado esse limite deve ser igual a 5. Então resolvemos a equação
\frac{n-4}{6}=5.
Multiplicando ambos os lados por 6:
n-4=30.
Assim
n=34.
Verificação rápida das condições: n=34>0 (conforme pedido) e g'(1)=6\neq 0, então a aplicação de L’Hôpital foi válida.

Resposta

34

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