Otimização da Área de uma Quadra de Futebol
A prefeitura pretende construir uma quadra de futebol society dentro de um terreno de formato retangular que possui 50 metros de comprimento e 40 metros de largura. A quadra também será retangular, com comprimento \mathbf{x} e largura \mathbf{y}, devendo obrigatoriamente caber dentro do terreno, ou seja, respeitar completamente suas dimensões máximas. Considerando que o objetivo é maximizar a área da quadra dentro desse terreno, qual seria o tamanho máximo possível de x e y que ainda respeite essas dimensões do terreno?

Passo 1

O enunciado fornece um terreno retangular com comprimento 50 metros e largura 40 metros. A quadra a ser construída também é retangular, com comprimento x e largura y, e deve caber inteiramente dentro do terreno. A pergunta é: qual o tamanho máximo possível de x e y que respeite as dimensões do terreno, assumindo que queremos maximizar a área da quadra?
Informações relevantes:
  • Dimensões do terreno: comprimento 50 m e largura 40 m.
  • Variáveis da quadra: comprimento x (m) e largura y (m).
  • Restrição: a quadra deve caber dentro do terreno, logo x e y não podem exceder as dimensões do terreno.
O que é pedido:
  • Encontrar os valores de x e y que maximizam a área da quadra respeitando as restrições do terreno.

Passo 2

Definir claramente a função objetivo e o domínio das variáveis.
  • Variáveis:
    • x: comprimento da quadra, em metros.
    • y: largura da quadra, em metros.
  • Restrições (peguei os valores do enunciado):
    0 < x \le 50,\qquad 0 < y \le 40.
  • Função área (objetivo a maximizar):
    A(x,y)=x\,y.
Aqui A(x,y) é a área da quadra em metros quadrados. Queremos escolher x e y dentro das restrições acima para que A(x,y) seja o maior possível.

Passo 3

Intuição sobre como maximizar A(x,y). Vou explicar o conceito de monotonicidade de forma simples:
  • Se uma função aumenta quando uma variável aumenta (mantendo a outra fixa), dizemos que ela é crescente nessa variável.
  • Se a área aumenta quando aumentamos x (mantendo y fixo) e também aumenta quando aumentamos y (mantendo x fixo), então para maximizar a área dentro dos limites dados devemos escolher x e y tão grandes quanto possível, isto é, os limites superiores permitidos.
Para verificar essa monotonicidade usamos derivadas parciais (explico o que são no próximo passo).

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais e interpretação (aula rápida sobre o que isso significa):
  • A derivada parcial de A em relação a x, \dfrac{\partial A}{\partial x}, mede quanto a área varia se aumentarmos x um pouquinho, mantendo y fixo.
  • A derivada parcial de A em relação a y, \dfrac{\partial A}{\partial y}, mede quanto a área varia se aumentarmos y um pouquinho, mantendo x fixo.
Calculemos:
\frac{\partial A}{\partial x}=y, \qquad \frac{\partial A}{\partial y}=x.
Interpretação: dentro do domínio onde x>0 e y>0, temos \dfrac{\partial A}{\partial x}=y>0 e \dfrac{\partial A}{\partial y}=x>0. Isso significa que a área aumenta quando aumentamos x (para qualquer y>0) e também aumenta quando aumentamos y (para qualquer x>0). Logo A é crescente em cada variável no domínio viável.

Passo 5

Conclusão lógica a partir da monotonicidade:
  • Como A aumenta com x e com y dentro das restrições, a área máxima será atingida tomando x e y nos seus maiores valores permitidos pelo terreno.
  • Portanto: x_{\max}=50\\ \text{m},\qquad y_{\max}=40\\ \text{m}.
  • Área máxima correspondente: A_{\max}=50\cdot40=2000\\ \text{m}^2.

Passo 6

Comentário prático e checagem rápida (para você ficar seguro na prova):
  • Outra forma de ver isso sem derivadas: para qualquer x\le 50 e y\le 40 tem-se x\le 50 e y\le 40 portanto xy\le 50\cdot40. A igualdade ocorre exatamente quando x=50 e y=40.
  • Então não há jeito de conseguir área maior que 2000\\ \text{m}^2 mantendo a quadra dentro do terreno.

Resposta

x=50\\ \text{m}
y=40\\ \text{m}

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