Otimização da Área de uma Quadra de Futebol
A prefeitura pretende construir uma quadra de futebol society dentro de um terreno de formato retangular que possui 50 metros de comprimento e 40 metros de largura. A quadra também será retangular, com comprimento
e largura
, devendo obrigatoriamente caber dentro do terreno, ou seja, respeitar completamente suas dimensões máximas. Considerando que o objetivo é maximizar a área da quadra dentro desse terreno, qual seria o tamanho máximo possível de x e y que ainda respeite essas dimensões do terreno?
Passo 1
O enunciado fornece um terreno retangular com comprimento
metros e largura
metros. A quadra a ser construída também é retangular, com comprimento
e largura
, e deve caber inteiramente dentro do terreno. A pergunta é: qual o tamanho máximo possível de
e
que respeite as dimensões do terreno, assumindo que queremos maximizar a área da quadra?
Informações relevantes:
- Dimensões do terreno: comprimento
m e largura m. - Variáveis da quadra: comprimento
(m) e largura (m). - Restrição: a quadra deve caber dentro do terreno, logo
e não podem exceder as dimensões do terreno.
O que é pedido:
- Encontrar os valores de
e que maximizam a área da quadra respeitando as restrições do terreno.
Passo 2
Definir claramente a função objetivo e o domínio das variáveis.
-
Variáveis:
-
: comprimento da quadra, em metros. -
: largura da quadra, em metros.
-
-
Restrições (peguei os valores do enunciado):
-
Função área (objetivo a maximizar):
Aqui
é a área da quadra em metros quadrados. Queremos escolher
e
dentro das restrições acima para que
seja o maior possível.
Passo 3
Intuição sobre como maximizar
. Vou explicar o conceito de monotonicidade de forma simples:
- Se uma função aumenta quando uma variável aumenta (mantendo a outra fixa), dizemos que ela é crescente nessa variável.
- Se a área aumenta quando aumentamos
(mantendo fixo) e também aumenta quando aumentamos (mantendo fixo), então para maximizar a área dentro dos limites dados devemos escolher e tão grandes quanto possível, isto é, os limites superiores permitidos.
Para verificar essa monotonicidade usamos derivadas parciais (explico o que são no próximo passo).
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais e interpretação (aula rápida sobre o que isso significa):
- A derivada parcial de
em relação a , , mede quanto a área varia se aumentarmos um pouquinho, mantendo fixo. - A derivada parcial de
em relação a , , mede quanto a área varia se aumentarmos um pouquinho, mantendo fixo.
Calculemos:
Interpretação: dentro do domínio onde
e
, temos
e
. Isso significa que a área aumenta quando aumentamos
(para qualquer
) e também aumenta quando aumentamos
(para qualquer
). Logo
é crescente em cada variável no domínio viável.
Passo 5
Conclusão lógica a partir da monotonicidade:
- Como
aumenta com e com dentro das restrições, a área máxima será atingida tomando e nos seus maiores valores permitidos pelo terreno. - Portanto:
- Área máxima correspondente:
Passo 6
Comentário prático e checagem rápida (para você ficar seguro na prova):
- Outra forma de ver isso sem derivadas: para qualquer
e tem-se e portanto . A igualdade ocorre exatamente quando e . - Então não há jeito de conseguir área maior que
mantendo a quadra dentro do terreno.