As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
(i) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
.
(ii) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
.
6.
(i) Encontre as coordenadas polares
(ii) Encontre as coordenadas polares
6.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas cartesianas do ponto:
As perguntas são:
(i) Encontrar as coordenadas polares do ponto com
e
.
(ii) Encontrar as coordenadas polares do ponto com
e
.
(i) Encontrar as coordenadas polares
(ii) Encontrar as coordenadas polares
Passo 2
Relembrando as fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas
e polares
:
- A relação entre as coordenadas é
Aqui
é a distância do ponto até a origem (pode ser positiva ou negativa conforme o enunciado) e
é o ângulo medido a partir do eixo positivo
.
- Para calcular
a partir de usa-se a fórmula da distância:
- Para
pode-se usar
mas é obrigatório observar em qual quadrante o ponto está (isto determina o ajuste do ângulo). Em termos práticos: calcula-se
e depois escolhe-se
no intervalo pedido conforme os sinais de
e
.
Passo 3
Calcular
usando
e
:
Portanto o módulo da coordenada polar (distância ao origem) é
. Como a parte (i) pede
, teremos
.
Passo 4
Calcular
pela tangente:
Sabendo os ângulos notáveis,
. Agora verificar o quadrante:
e
, logo o ponto está no primeiro quadrante, onde o valor principal de
já dá o ângulo correto. Portanto
Concluímos a resposta da parte (i):
.
Passo 5
Para obter uma representação com
usamos a propriedade da parametrização polar: o ponto correspondente a
tem coordenadas cartesianas
. Se tomarmos
e
, então
ou seja,
representa o mesmo ponto. Assim, a partir de
escolhemos
Verificação rápida (opcional): calcular
e
a partir de
:
confirmando que dá o mesmo ponto. Note que
está no intervalo
, conforme exigido.
Resposta
(i)
(ii)
(ii)