As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
(i) Encontre as coordenadas polares (r, \theta) do ponto, onde r>0 e 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi.
(ii) Encontre as coordenadas polares (r, \theta) do ponto, onde r<0 \mathrm{e} 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi.
6.
(3 \sqrt{3}, 3)

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas cartesianas do ponto:
  • x=3\sqrt{3}
  • y=3
As perguntas são:
(i) Encontrar as coordenadas polares (r,\theta) do ponto com r>0 e 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi.
(ii) Encontrar as coordenadas polares (r,\theta) do ponto com r<0 e 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi.

Passo 2

Relembrando as fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta):
  • A relação entre as coordenadas é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r é a distância do ponto até a origem (pode ser positiva ou negativa conforme o enunciado) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x.
  • Para calcular r a partir de (x,y) usa-se a fórmula da distância:
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Para \theta pode-se usar
\tan\theta = \frac{y}{x},
mas é obrigatório observar em qual quadrante o ponto está (isto determina o ajuste do ângulo). Em termos práticos: calcula-se \arctan\!\big(\dfrac{y}{x}\big) e depois escolhe-se \theta no intervalo pedido conforme os sinais de x e y.

Passo 3

Calcular r usando x=3\sqrt{3} e y=3:
r=\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+3^{2}}=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6.
Portanto o módulo da coordenada polar (distância ao origem) é 6. Como a parte (i) pede r>0, teremos r=6.

Passo 4

Calcular \theta pela tangente:
\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Sabendo os ângulos notáveis, \tan\big(\tfrac{\pi}{6}\big)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Agora verificar o quadrante: x=3\sqrt{3}>0 e y=3>0, logo o ponto está no primeiro quadrante, onde o valor principal de \arctan já dá o ângulo correto. Portanto
\theta=\frac{\pi}{6}.
Concluímos a resposta da parte (i): (r,\theta)=\big(6,\tfrac{\pi}{6}\big).

Passo 5

Para obter uma representação com r<0 usamos a propriedade da parametrização polar: o ponto correspondente a (r,\theta) tem coordenadas cartesianas (r\cos\theta,r\sin\theta). Se tomarmos r'=-r e \theta'=\theta+\pi, então
r'\cos\theta' = -r\cos(\theta+\pi)= -r(-\cos\theta)=r\cos\theta,
r'\sin\theta' = -r\sin(\theta+\pi)= -r(-\sin\theta)=r\sin\theta,
ou seja, (r',\theta') representa o mesmo ponto. Assim, a partir de (6,\tfrac{\pi}{6}) escolhemos
r'=-6,\qquad \theta'=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6}.
Verificação rápida (opcional): calcular x e y a partir de (-6,\tfrac{7\pi}{6}):
x = -6\cos\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right) = -6\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=3\sqrt{3},
y = -6\sin\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right) = -6\left(-\frac{1}{2}\right)=3,
confirmando que dá o mesmo ponto. Note que \tfrac{7\pi}{6} está no intervalo 0\leqslant\theta\leqslant2\pi, conforme exigido.

Resposta

(i) \big(6,\tfrac{\pi}{6}\big)
(ii) \big(-6,\tfrac{7\pi}{6}\big)

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