Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros.
y^prime prime+y=sec ^2 x, 0

Passo 1

Resumindo o enunciado: resolver a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem y'' + y = sec^2 x no intervalo 0 usando o método da variação de parâmetros. Para isso precisamos encontrar primeiro a solução homogênea e depois aplicar as fórmulas do método.

Passo 2

Encontrar a solução da equação homogênea associada y'' + y = 0. A equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r=pm i. Logo, a solução homogênea é yh(x)=C1cos x + C2sin x.

Passo 3

No método da variação de parâmetros buscamos uma solução particular da forma yp = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x), onde y1=cos x e y2=sin x. Calculamos o Wronskiano dessas soluções:
W = y1y2' - y1'y2 = cos xcdotcos x - (-sin x)cdotsin x = cos^2 x + sin^2 x = 1

Passo 4

Aplicar as fórmulas do método:
u1'(x) = -f(x),y2(x)W = -sec^2 xsin x, u2'(x) = f(x),y1(x)W = sec^2 xcos x

Passo 5

Integrar para encontrar u1 e u2:
Para u1:
u1 = integral -sin xcos^2 x,dx = -sec x
Para u2:
u2 = integral sec x,dx = lnl(sec x + tan xr)

Passo 6

Construir a solução particular e a geral. Temos
yp = u1y1 + u2y2 = (-sec x)cos x + ln(sec x + tan x)sin x = -1 + sin xln(sec x + tan x)
Logo, a solução geral é
y(x) = C1cos x + C2sin x - 1 + sin xln(sec x + tan x)

Resposta

y(x) = C1cos x + C2sin x - 1 + sin xln(sec x + tan x)

Exercícios relacionados