Encontre nabla z ou nabla w :
z=6 x+7 y6 x-7 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem é a função e precisamos encontrar o gradiente dessa função, que é representado por . O conteúdo aqui envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e o conceito de gradiente. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente para derivar e entender como calcular derivadas parciais em relação às variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função nabla z = ( partial zpartial x, partial zpartial y ) é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis. No nosso caso, como temos duas variáveis ( e ), o gradiente será:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = (6)(6x - 7y) - (6x + 7y)(6)(6x - 7y)^2 em relação a partial zpartial x = 36x - 42y - 36x - 42y(6x - 7y)^2 = -84y(6x - 7y)^2 . Para isso, usamos a regra do quociente, que é assim:
Vamos simplificar isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = (7)(6x - 7y) - (6x + 7y)(-7)(6x - 7y)^2 em relação a partial zpartial y = 42x - 49y + 42x + 49y(6x - 7y)^2 = 84x(6x - 7y)^2 . Também usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Resposta

Então, juntando tudo, o gradiente de nabla z = ( -84y(6x - 7y)^2, 84x(6x - 7y)^2 ) é:

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