Questão 5. Ache a solução geral das EDO y^prime+2 yx=x^3( Resp. y=x^46+Cx^2)

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário: temos a equação diferencial de primeira ordem y’+\frac{2y}{x}=x^{3}. Esse tipo de EDO é linear e podemos usar o método do fator integrante para resolver, lembrando que precisamos identificar P(x)=2/x e Q(x)=x^3.

Passo 2

Cálculo do fator integrante μ(x): para uma EDO da forma y’+P(x)y=Q(x) usamos μ(x)=exp(\int P(x),dx). Aqui P(x)=2/x então calculamos
mu(x)=expgl(integral2xdxgr)=exp(2ln|x|)=x^2
Escolhemos x>0 para simplificar e ficar μ(x)=x^2.

Passo 3

Multiplicação da equação original por μ(x) e identificação de derivada: ao multiplicar y’+\frac{2y}{x}=x^3 por x^2 obtemos
x^2y'+2xy=x^5
Perceba que o lado esquerdo é exatamente o resultado da derivada do produto x^2y, pois
(x^2y)'=x^2y'+2xy
Logo podemos reescrever a equação como
(x^2y)'=x^5

Passo 4

Integração de ambos os lados: agora basta integrar em relação a x
integral (x^2y)',dx=integral x^5,dx
Isso dá
x^2y=x^66+C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamento de y para obter a solução geral: dividindo tudo por x^2, temos
y=x^66x^2+Cx^2=x^46+Cx^2
Essa é a solução geral da EDO dada.

Resposta

y=x^46+Cx^2

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