Questão 5. Ache a solução geral das EDO
Resp.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo necessário: temos a equação diferencial de primeira ordem y’+\frac{2y}{x}=x^{3}. Esse tipo de EDO é linear e podemos usar o método do fator integrante para resolver, lembrando que precisamos identificar P(x)=2/x e Q(x)=x^3.
Passo 2
Cálculo do fator integrante μ(x): para uma EDO da forma y’+P(x)y=Q(x) usamos μ(x)=exp(\int P(x),dx). Aqui P(x)=2/x então calculamos
Escolhemos x>0 para simplificar e ficar μ(x)=x^2.
Passo 3
Multiplicação da equação original por μ(x) e identificação de derivada: ao multiplicar y’+\frac{2y}{x}=x^3 por x^2 obtemos
Perceba que o lado esquerdo é exatamente o resultado da derivada do produto x^2y, pois
Logo podemos reescrever a equação como
Passo 4
Integração de ambos os lados: agora basta integrar em relação a x
Isso dá
onde C é a constante de integração.
Passo 5
Isolamento de y para obter a solução geral: dividindo tudo por x^2, temos
Essa é a solução geral da EDO dada.