Encontre o núcleo de cada transformação linear:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(0,0,0).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(0,0,0)
para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
A pergunta é: encontrar o núcleo (ou núcleo nulo) de T, ou seja, descrever o conjunto
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3 \mid T(v)=0\}.

Passo 2

Vamos lembrar claramente o que significa “núcleo” de uma transformação linear. Por definição,
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3 \mid T(v)=0\},
onde 0 é o vetor nulo em \mathbb{R}^3, isto é, 0=(0,0,0).
O núcleo é o conjunto de todos os vetores do domínio que são levados ao vetor nulo pela transformação.

Passo 3

Pegue um vetor genérico v=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Aplicando T obtemos
T(x,y,z)=(0,0,0).
Aqui x,y,z são variáveis reais arbitrárias que representam coordenadas do vetor v.

Passo 4

Para saber se v pertence ao núcleo, impomos a condição T(v)=0. No nosso caso isso é
T(x,y,z)=(0,0,0)=0.
Mas a igualdade acima é verdadeira para qualquer escolha de x,y,z, porque a definição de T devolve sempre (0,0,0) independentemente dos valores de x,y,z. Logo todo vetor v\in\mathbb{R}^3 satisfaz T(v)=0.

Passo 5

Da observação anterior concluímos que
\ker(T)=\mathbb{R}^3.
Isto significa que o núcleo é o espaço inteiro do domínio. Em particular, uma base do núcleo é a base canônica
\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\},
e a dimensão do núcleo (a nulidade) é 3.

Passo 6

Comentário útil para a prova: essa transformação é o mapa zero (zero map). Para qualquer mapa zero T em um espaço vetorial V vale sempre \ker(T)=V e \operatorname{rank}(T)=0. Pelo teorema posto-nulidade (rank-nullity) confirma-se que \dim(\ker T)=\dim V.

Resposta

\ker(T)=\mathbb{R}^3

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