Encontre o núcleo de cada transformação linear:
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
para todo
.
A pergunta é: encontrar o núcleo (ou núcleo nulo) de , ou seja, descrever o conjunto
A pergunta é: encontrar o núcleo (ou núcleo nulo) de
Passo 2
Vamos lembrar claramente o que significa “núcleo” de uma transformação linear. Por definição,
onde
é o vetor nulo em
, isto é,
.
O núcleo é o conjunto de todos os vetores do domínio que são levados ao vetor nulo pela transformação.
O núcleo é o conjunto de todos os vetores do domínio que são levados ao vetor nulo pela transformação.
Passo 3
Pegue um vetor genérico
. Aplicando
obtemos
Aqui
são variáveis reais arbitrárias que representam coordenadas do vetor
.
Passo 4
Para saber se
pertence ao núcleo, impomos a condição
. No nosso caso isso é
Mas a igualdade acima é verdadeira para qualquer escolha de
, porque a definição de
devolve sempre
independentemente dos valores de
. Logo todo vetor
satisfaz
.
Passo 5
Da observação anterior concluímos que
Isto significa que o núcleo é o espaço inteiro do domínio. Em particular, uma base do núcleo é a base canônica
e a dimensão do núcleo (a nulidade) é
.
Passo 6
Comentário útil para a prova: essa transformação é o mapa zero (zero map). Para qualquer mapa zero
em um espaço vetorial
vale sempre
e
. Pelo teorema posto-nulidade (rank-nullity) confirma-se que
.