O objetivo é produzir um conjunto de colunas de A que seja linearmente independente e que gere (span) todas as colunas — ou seja, uma base do espaço coluna.
Passo 2
Estratégia que vou usar (apenas descrição do método): aplicar operações elementares de linha para colocar A em forma escalonada (e reduzir até a forma escalonada reduzida). Observação importante (sem demonstrar ainda): operações de linha não mudam as dependências lineares entre as colunas no sentido de que as colunas que aparecem como colunas-pivô na forma escalonada correspondem a colunas linearmente independentes da matriz original. Assim, identificando as colunas-pivô (índices das colunas com pivôs) obtemos quais colunas originais formam uma base do espaço coluna.
Agora eu faço a redução por linhas passo a passo (cada operação é uma operação elementar de linhas).
Passo 3
Escrevo A e aplico as primeiras operações para zerar abaixo do pivô na primeira coluna (uso R_i para linha i):
Agora foco na terceira coluna. Tenho duas linhas com entradas não nulas na coluna 3: -20 (linha 3) e 12 (linha 4). Vou eliminar uma usando a outra. Faço R_3\leftarrow R_3+\tfrac{5}{3}R_4. (Esse fator foi escolhido para zerar a componente da coluna 3 de R_3: -20+(5/3)\cdot12=0.)
Torno o pivô da terceira linha igual a 1 dividindo por 12: R_3\leftarrow \tfrac{1}{12}R_3. Depois uso esse pivô para zerar as entradas acima na coluna 3.
Esta é a forma escalonada reduzida (RREF) da matriz A. Observação: as operações usadas foram apenas operações de linha (multiplicação à esquerda por matrizes elementares invertíveis), portanto os pivôs que apareceram indicam quais colunas originais são independentes.
Passo 8
Identificação dos pivôs: aparecem pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4. Isso significa que as colunas originais \mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3,\mathbf{c}_4 de A são linearmente independentes e geram o espaço coluna. A quinta coluna é combinação linear das primeiras quatro (portanto é redundante). Logo uma base natural para o espaço das colunas é o conjunto das primeiras quatro colunas originais de A.