Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(b) T: C^3 C^3 dada por
T(z1, z2, z3)=(z1-z2+2 z3, 2 z1+z2-z3, 2 z2-2 z3)

Passo 1

O enunciado define Tcolon C^3toC^3 por
Tl(z1,z2,z3r)=l(z1-z2+2z3,;2z1+z2-z3,;2z2-2z3r)
Precisamos achar o núcleo ker T (soluções de T(z)=0) e a imagem ImT (subespaço gerado pelos vetores T(ei)), fornecendo uma base para cada um.

Passo 2

Para montamos o sistema homogêneo
Em forma de matriz aumentada:

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss sobre as colunas dos coeficientes:
  1. R2 R2-2R1 (0;3;-5mid0).
  2. Usando essa nova linha 2, zeramos abaixo: R3 R3-tfrac23R2 fica (0;0;tfrac43mid0).
  3. A partir daí obtemos pivôs em todas as colunas, implicando
z3=0, z2=0, z1=0

Passo 4

Como a única solução é (z1,z2,z3)=(0,0,0), concluímos
ker T = (0,0,0)
O subespaço trivial 0 tem dimensão zero e a sua base é o conjunto vazio.

Passo 5

Para ImT, observamos que é gerado pelas colunas da matriz de T relativa à base canônica:
A = 1 & -1 & 2 2 & 1 & -1 0 & 2 & -2 ,
isto é, pelos vetores
v1 = (1,2,0), v2 = (-1,1,2), v3 = (2,-1,-2)

Passo 6

Basta ver que det A neq 0, por exemplo
det A =1cdotdet1&-12&-2 -(-1)cdotdet2&-10&-2 +2cdotdet2&10&2 =4neq0
Logo v1,v2,v3 é LI e gera todo C^3. Concluímos
ImT=C^3

Resposta

Base de ker T: varnothing (apenas o vetor zero).
Base de ImT:
(1,2,0),,(-1,1,2),,(2,-1,-2).

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