Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(b) dada por
Passo 1
O enunciado define por
Precisamos achar o núcleo (soluções de ) e a imagem (subespaço gerado pelos vetores ), fornecendo uma base para cada um.
Passo 2
Para montamos o sistema homogêneo
Em forma de matriz aumentada:
Passo 3
Aplicando eliminação de Gauss sobre as colunas dos coeficientes:
R2 R2-2R1 dá (0;3;-5mid0).
Usando essa nova linha 2, zeramos abaixo: R3 R3-tfrac23R2 fica (0;0;tfrac43mid0).
A partir daí obtemos pivôs em todas as colunas, implicando
z3=0, z2=0, z1=0
Passo 4
Como a única solução é (z1,z2,z3)=(0,0,0), concluímos
ker T = (0,0,0)
O subespaço trivial 0 tem dimensão zero e a sua base é o conjunto vazio.
Passo 5
Para ImT, observamos que é gerado pelas colunas da matriz de T relativa à base canônica:
A = 1 & -1 & 2 2 & 1 & -1 0 & 2 & -2 ,
isto é, pelos vetores
v1 = (1,2,0), v2 = (-1,1,2), v3 = (2,-1,-2)
Passo 6
Basta ver que det A neq 0, por exemplo
det A =1cdotdet1&-12&-2 -(-1)cdotdet2&-10&-2 +2cdotdet2&10&2 =4neq0
Logo v1,v2,v3 é LI e gera todo C^3. Concluímos
ImT=C^3
Resposta
Base de ker T: varnothing (apenas o vetor zero).
Base de ImT: (1,2,0),,(-1,1,2),,(2,-1,-2).