Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(c) T: R^4 R^3 dada por
T(x, y, z, w)=(y+z+w,-x+y+2 w, x+z-w)

Passo 1

Escrevemos T na base canônica e obtemos a matriz AinR^3times4 cujas colunas são T(ei). Como
T(x,y,z,w) = (y+z+w,,-x+y+2w,,x+z-w)
vemos que
A = 0 & 1 & 1 & 1 [6pt] -1 & 1 & 0 & 2 [6pt] 1 & 0 & 1 & -1
Para achar ker T resolvemos A(x,y,z,w)^T=0. Para achar Im,T analisamos o espaço gerado pelas colunas de A.]

Passo 2

O sistema
Da segunda equação segue (x=y+2w]. Substituindo na terceira:

que coincide com a primeira, restando apenas duas equações independentes.

Passo 3

Temos quatro incógnitas e duas equações independentes, logo dois parâmetros livres. Seja y=s e w=t. Então
z = -s - t, x = s + 2t
Logo
(x,y,z,w) = (s+2t,;s,;-s-t,;t) = s,(1,1,-1,0) ;+; t,(2,0,-1,1)
Portanto uma base de ker T é
(1,1,-1,0),;(2,0,-1,1)

Passo 4

As colunas de A são
c1=(0,-1,1),; c2=(1,1,0),; c3=(1,0,1),; c4=(1,2,-1)
Verifica-se que
c3 = c1 + c2, c4 = -,c1 + c2,
logo apenas c1 e c2 geram todas as colunas. Esses dois vetores são independentes e formam base de Im,T.

Resposta

ker T = span(1,1,-1,0),,(2,0,-1,1), Im,T = span(0,-1,1),,(1,1,0)

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