Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(a) T: R^3 R^3 dada por
T(x, y, z)=(x-2 y,-3 x+6 y+z, 2 x-4 y+z)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o núcleo ker(T) e a imagem Im(T) da transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x-2y,;-3x+6y+z,;2x-4y+z,)
O que precisamos é (i) resolver T(x,y,z)=0 para achar ker(T) e (ii) determinar o subespaço gerado pelas colunas da matriz de T na base canônica para achar Im(T).

Passo 2

Montamos a matriz de na base canônica :
de modo que . Para achar , resolvemos
Da primeira linha vem , ou seja
Substituindo na segunda linha:
A terceira linha dá o mesmo , logo
Portanto

Passo 3

Para , basta observar que ela é gerada pelas colunas de :
Note que , sendo portanto redundante. Já não é múltiplo de , pois não existe escala tal que
. Logo duas colunas são independentes e geram toda a imagem:

Resposta


\quad

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