Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(a) dada por
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear
O que precisamos é (i) resolver para achar e (ii) determinar o subespaço gerado pelas colunas da matriz de na base canônica para achar .
Passo 2
Montamos a matriz de na base canônica :
de modo que . Para achar , resolvemos
Da primeira linha vem , ou seja
Substituindo na segunda linha:
A terceira linha dá o mesmo , logo
Portanto
Passo 3
Para , basta observar que ela é gerada pelas colunas de :
Note que , sendo portanto redundante. Já não é múltiplo de , pois não existe escala tal que . Logo duas colunas são independentes e geram toda a imagem: