Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(d) T: R^3 R^4 dada por
T(x, y, z)=(x+4 y+z, y+2 z, x+3 y-z)

Passo 1

O enunciado pede o núcleo e a imagem de
T:R^3toR^4
definida por
T(x,y,z)=(x+4y+z,;y+2z,;x+3y-z)
Note que só há três componentes na imagem, portanto vamos tratar o contradomínio como R^3. Vamos usar representação matricial para achar
ker T (soluções de T(v)=0) e Im T (espaço gerado pelas colunas).

Passo 2

Em base canônica, a matriz de T é
A= 1&4&1 0&1&2 1&3&-1 ,
pois T(x,y,z)=A,(x,y,z)^T. Assim
Im T=Col(A) e
ker T=(x,y,z)mid A(x,y,z)^T=0.

Passo 3

Para calcular
Da segunda equação vem , logo não impõe condição nova. Assim
e

Passo 4

A imagem é o espaço gerado pelas colunas de A:
c1=(1,0,1), c2=(4,1,3), c3=(1,2,-1)
Para ver dependência, buscamos a,b tais que a,c1+b,c2=c3:
(a+4b,;b,;a+3b) = (1,2,-1) ;Rightarrow; b=2,;a+8=1;Rightarrow;a=-7,
e de fato -7c1+2c2=c3. Logo só c1,c2 são independentes e
Im T = span(1,0,1),(4,1,3)

Resposta

Base de ker T: (7,-2,1)
Base de Im T: (1,0,1),,(4,1,3)

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