Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(d) dada por
Passo 1
O enunciado pede o núcleo e a imagem de
definida por
Note que só há três componentes na imagem, portanto vamos tratar o contradomínio como . Vamos usar representação matricial para achar (soluções de ) e (espaço gerado pelas colunas).
Passo 2
Em base canônica, a matriz de é
pois T(x,y,z)=A,(x,y,z)^T. Assim Im T=Col(A) e ker T=(x,y,z)mid A(x,y,z)^T=0.
Passo 3
Para calcular
Da segunda equação vem , logo não impõe condição nova. Assim
e
Passo 4
A imagem é o espaço gerado pelas colunas de A:
c1=(1,0,1), c2=(4,1,3), c3=(1,2,-1)
Para ver dependência, buscamos a,b tais que a,c1+b,c2=c3: