Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(e) dada por
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
Queremos encontrar o núcleo e a imagem . Para isso, montamos a matriz associada, resolvemos o sistema homogêneo e analisamos o espaço gerado pelas colunas de .
Passo 2
A matriz de na base canônica é
O núcleo é dado pelas soluções de
2x - y + z + 4w = 0, x + 3y - w = 0, -7y + z + 6w = 0
Passo 3
Da segunda equação segue
x = -3y + w,
e da terceira
z = 7y - 6w
A primeira equação é combinação das outras (ela se anula automaticamente), portanto temos dois parâmetros livres. Seja y=s e w=t. Então