Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(e) T: R^4 R^3 dada por
T(x, y, z, w)=(2 x-y+z+4 w, x+3 y-w,-7 y+z+6 w)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^4toR^3, T(x,y,z,w)=(2x - y + z + 4w,;x + 3y - w,;-7y + z + 6w)
Queremos encontrar o núcleo ker(T) e a imagem Im(T). Para isso, montamos a matriz associada, resolvemos o sistema homogêneo Av=0 e analisamos o espaço gerado pelas colunas de A.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = 2 & -1 & 1 & 4 1 & 3 & 0 & -1 0 & -7 & 1 & 6
O núcleo é dado pelas soluções de
2x - y + z + 4w = 0, x + 3y - w = 0, -7y + z + 6w = 0

Passo 3

Da segunda equação segue
x = -3y + w,
e da terceira
z = 7y - 6w
A primeira equação é combinação das outras (ela se anula automaticamente), portanto temos dois parâmetros livres. Seja y=s e w=t. Então
(x,y,z,w) = l(-3s+t,;s,;7s-6t,;tr) = s,(-3,1,7,0) ;+; t,(1,0,-6,1)
Assim
ker(T)=span(-3,1,7,0),,(1,0,-6,1)

Passo 4

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A. Observamos que a primeira linha de A é combinação das outras duas, pois
(2,-1,1,4) =2,(1,3,0,-1) + (0,-7,1,6)
Logo rank(A)=2 e basta tomar as colunas com pivôs (colunas 1 e 2) como base. As colunas são
c1=(2,1,0), c2=(-1,3,-7),
então
Im(T)=span(2,1,0),,(-1,3,-7)

Resposta

Base de ker(T): (-3,1,7,0),,(1,0,-6,1).
Base de Im(T): (2,1,0),,(-1,3,-7).

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